Matematyka.pl

Hej!

Mam problem z wielomianami, a dokładnie z tym jednym:

\(\displaystyle{ x^{4}+1 = ??}\)

Muszę rozwiązać to nie za pomocą liczb zespolonych, a zwykłego wyciągnięcia z tego postaci iloczynowej. Spotkałem się z takim rozwiązaniem i wiem, że jest ono dobre:

\(\displaystyle{ = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)}\)

..., jednak zupełnie nie rozumiem, skąd się wziął tam pierwiastek. Bądź w tym przykładzie:

\(\displaystyle{ x^{4}+4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2)}\)

hyack pisze: ↑9 lis 2019, o 23:58Bądź w tym przykładzie:

\(\displaystyle{ x^{4}+4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2)}\)

No to nieprawda. Jak już, to

\(\displaystyle{ x^{4} \: \red{-} \: 4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2).}\)

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑10 lis 2019, o 00:07

hyack pisze: ↑9 lis 2019, o 23:58Bądź w tym przykładzie:

\(\displaystyle{ x^{4}+4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2)}\)

No to nieprawda. Jak już, to

\(\displaystyle{ x^{4} \: \red{-} \: 4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2).}\)

JK

Okej, a czy mógłbyś mi opisać krok po kroku jaki tu schemat zastosowałeś?

hyack pisze: ↑10 lis 2019, o 00:09Okej, a czy mógłbyś mi opisać krok po kroku jaki tu schemat zastosowałeś?

A to ze zwykłej różnicy kwadratów, dwa razy.

Natomiast w przypadku \(\displaystyle{ x^4+1}\) możesz zauważyć, że z powodu braku pierwiastków rzeczywistych rozkład musi być postaci

\(\displaystyle{ x^4+1=(ax^2+bx+c)(ex^2+dx+f),}\)

potem wymnażasz, porównujesz współczynniki. Starając się uprościć sobie życie przyjmujesz \(\displaystyle{ a=c=e=f=1}\) itd.

JK

Albo uzupełnić do różnicy kwadratów :
$$x^4+1=x^4+2x^2 +1-2x^2 =... $$

a4karo pisze: ↑10 lis 2019, o 00:16 Albo uzupełnić do różnicy kwadratów :
$$x^4+1=x^4+2x^2 +1-2x^2 =... $$

Okej, ale skoro różnica kwadratów jest opisana wzorem:

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)}\)

..., to skąd na samym końcu wyrażenia kolejne \(\displaystyle{ -2x^{2}}\) ?

No żeby się zgadzało... Jak masz \(\displaystyle{ 2+3}\) to to się równa \(\displaystyle{ 2+3=2+3+7-7}\) Natomiast \(\displaystyle{ 2+3 \neq 2+3+7}\)

Niepokonana pisze: ↑10 lis 2019, o 00:31 No żeby się zgadzało... Jak masz \(\displaystyle{ 2+3}\) to to się równa \(\displaystyle{ 2+3=2+3+7-7}\) Natomiast \(\displaystyle{ 2+3 \neq 2+3+7}\)

Wciąż, nie rozumiem jak po podstawieniu \(\displaystyle{ x^{4}+1}\) do wzoru różnicy kwadratowej wychodzą takie wyrażenia jak w poście @a4karo. Mogłabyś mi to wytłumaczyć, krok po kroku?

hyack pisze: ↑10 lis 2019, o 00:45Wciąż, nie rozumiem jak po podstawieniu \(\displaystyle{ x^{4}+1}\) do wzoru różnicy kwadratowej wychodzą takie wyrażenia jak w poście @a4karo.

Nie "podstawiasz do wzoru różnicy kwadratów", tylko tak przekształcasz wyrażenie, by na końcu móc z tego wzoru skorzystać. Musisz jeszcze pamiętać wzór na kwadrat sumy.

\(\displaystyle{ x^4+1=x^4+2x^2 +1-2x^2 =(x^4+2x^2 +1)-( \sqrt{2}x )^2=...}\)

JK

Okej, a jak z tym przykładem - który ze wzorów można zastosować?

\(\displaystyle{ x^{6}+8 = ?}\)

Proponuję sumę sześcianów. Wskazówka:
\(\displaystyle{ \left(x^{2}\right)^{3}+2^{3}}\).

Premislav pisze: ↑10 lis 2019, o 18:09 Proponuję sumę sześcianów. Wskazówka:
\(\displaystyle{ \left(x^{2}\right)^{3}+2^{3}}\).

Doszedłem do tego momentu:

\(\displaystyle{ x^{6}+8 = (x^{2})^{3} + 2^{3} = (x^{2}+2)(x^{4}-2x^{2}+4) = ??}\)

Odpowiedź do tego zadania to:

\(\displaystyle{ (x^{2}+2)(x^{2}+x\sqrt{6}+2)(x^{2}-x\sqrt{6}+2)}\)

Jak mogę uzyskać taki wynik?

Na razie jest dobrze. Następnie zauważ, że
\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{2}+4=(x^{4}+4x^{2}+4)-6x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-\left(\sqrt{6}x\right)^{2}}\).