Rozkład na czynniki - jak?
Rozkład na czynniki - jak?
Hej!
Mam problem z wielomianami, a dokładnie z tym jednym:
\(\displaystyle{ x^{4}+1 = ??}\)
Muszę rozwiązać to nie za pomocą liczb zespolonych, a zwykłego wyciągnięcia z tego postaci iloczynowej. Spotkałem się z takim rozwiązaniem i wiem, że jest ono dobre:
\(\displaystyle{ = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)}\)
..., jednak zupełnie nie rozumiem, skąd się wziął tam pierwiastek. Bądź w tym przykładzie:
\(\displaystyle{ x^{4}+4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2)}\)
Mam problem z wielomianami, a dokładnie z tym jednym:
\(\displaystyle{ x^{4}+1 = ??}\)
Muszę rozwiązać to nie za pomocą liczb zespolonych, a zwykłego wyciągnięcia z tego postaci iloczynowej. Spotkałem się z takim rozwiązaniem i wiem, że jest ono dobre:
\(\displaystyle{ = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)}\)
..., jednak zupełnie nie rozumiem, skąd się wziął tam pierwiastek. Bądź w tym przykładzie:
\(\displaystyle{ x^{4}+4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2)}\)
Ostatnio zmieniony 10 lis 2019, o 00:13 przez hyack, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład na czynniki - jak?
No to nieprawda. Jak już, to
\(\displaystyle{ x^{4} \: \red{-} \: 4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2).}\)
JK
Re: Rozkład na czynniki - jak?
Okej, a czy mógłbyś mi opisać krok po kroku jaki tu schemat zastosowałeś?Jan Kraszewski pisze: ↑10 lis 2019, o 00:07No to nieprawda. Jak już, to
\(\displaystyle{ x^{4} \: \red{-} \: 4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2).}\)
JK
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład na czynniki - jak?
A to ze zwykłej różnicy kwadratów, dwa razy.
Natomiast w przypadku \(\displaystyle{ x^4+1}\) możesz zauważyć, że z powodu braku pierwiastków rzeczywistych rozkład musi być postaci
\(\displaystyle{ x^4+1=(ax^2+bx+c)(ex^2+dx+f),}\)
potem wymnażasz, porównujesz współczynniki. Starając się uprościć sobie życie przyjmujesz \(\displaystyle{ a=c=e=f=1}\) itd.
JK
Re: Rozkład na czynniki - jak?
Okej, ale skoro różnica kwadratów jest opisana wzorem:
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)}\)
..., to skąd na samym końcu wyrażenia kolejne \(\displaystyle{ -2x^{2}}\) ?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Rozkład na czynniki - jak?
No żeby się zgadzało... Jak masz \(\displaystyle{ 2+3}\) to to się równa \(\displaystyle{ 2+3=2+3+7-7}\) Natomiast \(\displaystyle{ 2+3 \neq 2+3+7}\)
Re: Rozkład na czynniki - jak?
Wciąż, nie rozumiem jak po podstawieniu \(\displaystyle{ x^{4}+1}\) do wzoru różnicy kwadratowej wychodzą takie wyrażenia jak w poście @a4karo. Mogłabyś mi to wytłumaczyć, krok po kroku?Niepokonana pisze: ↑10 lis 2019, o 00:31 No żeby się zgadzało... Jak masz \(\displaystyle{ 2+3}\) to to się równa \(\displaystyle{ 2+3=2+3+7-7}\) Natomiast \(\displaystyle{ 2+3 \neq 2+3+7}\)
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład na czynniki - jak?
Nie "podstawiasz do wzoru różnicy kwadratów", tylko tak przekształcasz wyrażenie, by na końcu móc z tego wzoru skorzystać. Musisz jeszcze pamiętać wzór na kwadrat sumy.
\(\displaystyle{ x^4+1=x^4+2x^2 +1-2x^2 =(x^4+2x^2 +1)-( \sqrt{2}x )^2=...}\)
JK
Re: Rozkład na czynniki - jak?
Okej, a jak z tym przykładem - który ze wzorów można zastosować?
\(\displaystyle{ x^{6}+8 = ?}\)
\(\displaystyle{ x^{6}+8 = ?}\)
Re: Rozkład na czynniki - jak?
Doszedłem do tego momentu:
\(\displaystyle{ x^{6}+8 = (x^{2})^{3} + 2^{3} = (x^{2}+2)(x^{4}-2x^{2}+4) = ??}\)
Odpowiedź do tego zadania to:
\(\displaystyle{ (x^{2}+2)(x^{2}+x\sqrt{6}+2)(x^{2}-x\sqrt{6}+2)}\)
Jak mogę uzyskać taki wynik?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozkład na czynniki - jak?
Na razie jest dobrze. Następnie zauważ, że
\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{2}+4=(x^{4}+4x^{2}+4)-6x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-\left(\sqrt{6}x\right)^{2}}\).
\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{2}+4=(x^{4}+4x^{2}+4)-6x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-\left(\sqrt{6}x\right)^{2}}\).