Rozkład na czynniki - jak?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
hyack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 lis 2019, o 23:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: hyack » 9 lis 2019, o 23:58

Hej!

Mam problem z wielomianami, a dokładnie z tym jednym:

\(\displaystyle{ x^{4}+1 = ??}\)

Muszę rozwiązać to nie za pomocą liczb zespolonych, a zwykłego wyciągnięcia z tego postaci iloczynowej. Spotkałem się z takim rozwiązaniem i wiem, że jest ono dobre:

\(\displaystyle{ = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)}\)

..., jednak zupełnie nie rozumiem, skąd się wziął tam pierwiastek. Bądź w tym przykładzie:

\(\displaystyle{ x^{4}+4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2)}\)
Ostatnio zmieniony 10 lis 2019, o 00:13 przez hyack, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25991
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: Jan Kraszewski » 10 lis 2019, o 00:07

hyack pisze:
9 lis 2019, o 23:58
Bądź w tym przykładzie:

\(\displaystyle{ x^{4}+4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2)}\)
No to nieprawda. Jak już, to

\(\displaystyle{ x^{4} \: \red{-} \: 4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2).}\)

JK

hyack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 lis 2019, o 23:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: hyack » 10 lis 2019, o 00:09

Jan Kraszewski pisze:
10 lis 2019, o 00:07
hyack pisze:
9 lis 2019, o 23:58
Bądź w tym przykładzie:

\(\displaystyle{ x^{4}+4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2)}\)
No to nieprawda. Jak już, to

\(\displaystyle{ x^{4} \: \red{-} \: 4 = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2})(x^{2}+2).}\)

JK
Okej, a czy mógłbyś mi opisać krok po kroku jaki tu schemat zastosowałeś?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25991
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: Jan Kraszewski » 10 lis 2019, o 00:12

hyack pisze:
10 lis 2019, o 00:09
Okej, a czy mógłbyś mi opisać krok po kroku jaki tu schemat zastosowałeś?
A to ze zwykłej różnicy kwadratów, dwa razy.

Natomiast w przypadku \(\displaystyle{ x^4+1}\) możesz zauważyć, że z powodu braku pierwiastków rzeczywistych rozkład musi być postaci

\(\displaystyle{ x^4+1=(ax^2+bx+c)(ex^2+dx+f),}\)

potem wymnażasz, porównujesz współczynniki. Starając się uprościć sobie życie przyjmujesz \(\displaystyle{ a=c=e=f=1}\) itd.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: a4karo » 10 lis 2019, o 00:16

Albo uzupełnić do różnicy kwadratów :
$$x^4+1=x^4+2x^2 +1-2x^2 =... $$

hyack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 lis 2019, o 23:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: hyack » 10 lis 2019, o 00:29

a4karo pisze:
10 lis 2019, o 00:16
Albo uzupełnić do różnicy kwadratów :
$$x^4+1=x^4+2x^2 +1-2x^2 =... $$
Okej, ale skoro różnica kwadratów jest opisana wzorem:

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)}\)

..., to skąd na samym końcu wyrażenia kolejne \(\displaystyle{ -2x^{2}}\) ?

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: Niepokonana » 10 lis 2019, o 00:31

No żeby się zgadzało... Jak masz \(\displaystyle{ 2+3}\) to to się równa \(\displaystyle{ 2+3=2+3+7-7}\) Natomiast \(\displaystyle{ 2+3 \neq 2+3+7}\)

hyack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 lis 2019, o 23:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: hyack » 10 lis 2019, o 00:45

Niepokonana pisze:
10 lis 2019, o 00:31
No żeby się zgadzało... Jak masz \(\displaystyle{ 2+3}\) to to się równa \(\displaystyle{ 2+3=2+3+7-7}\) Natomiast \(\displaystyle{ 2+3 \neq 2+3+7}\)
Wciąż, nie rozumiem jak po podstawieniu \(\displaystyle{ x^{4}+1}\) do wzoru różnicy kwadratowej wychodzą takie wyrażenia jak w poście @a4karo. Mogłabyś mi to wytłumaczyć, krok po kroku?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25991
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: Jan Kraszewski » 10 lis 2019, o 00:52

hyack pisze:
10 lis 2019, o 00:45
Wciąż, nie rozumiem jak po podstawieniu \(\displaystyle{ x^{4}+1}\) do wzoru różnicy kwadratowej wychodzą takie wyrażenia jak w poście @a4karo.
Nie "podstawiasz do wzoru różnicy kwadratów", tylko tak przekształcasz wyrażenie, by na końcu móc z tego wzoru skorzystać. Musisz jeszcze pamiętać wzór na kwadrat sumy.

\(\displaystyle{ x^4+1=x^4+2x^2 +1-2x^2 =(x^4+2x^2 +1)-( \sqrt{2}x )^2=...}\)

JK

hyack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 lis 2019, o 23:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: hyack » 10 lis 2019, o 18:01

Okej, a jak z tym przykładem - który ze wzorów można zastosować?

\(\displaystyle{ x^{6}+8 = ?}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14521
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: Premislav » 10 lis 2019, o 18:09

Proponuję sumę sześcianów. Wskazówka:
\(\displaystyle{ \left(x^{2}\right)^{3}+2^{3}}\).

hyack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 9 lis 2019, o 23:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: hyack » 10 lis 2019, o 18:18

Premislav pisze:
10 lis 2019, o 18:09
Proponuję sumę sześcianów. Wskazówka:
\(\displaystyle{ \left(x^{2}\right)^{3}+2^{3}}\).
Doszedłem do tego momentu:

\(\displaystyle{ x^{6}+8 = (x^{2})^{3} + 2^{3} = (x^{2}+2)(x^{4}-2x^{2}+4) = ??}\)

Odpowiedź do tego zadania to:

\(\displaystyle{ (x^{2}+2)(x^{2}+x\sqrt{6}+2)(x^{2}-x\sqrt{6}+2)}\)

Jak mogę uzyskać taki wynik?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14521
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: Rozkład na czynniki - jak?

Post autor: Premislav » 10 lis 2019, o 18:23

Na razie jest dobrze. Następnie zauważ, że
\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{2}+4=(x^{4}+4x^{2}+4)-6x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-\left(\sqrt{6}x\right)^{2}}\).

ODPOWIEDZ