Matematyka.pl

Dilectus pisze: ↑5 lis 2019, o 10:10 \(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1=0}\)

Łatwo zgadnąć, że jednym z pierwiastków tego równania jest liczba 1. Możemy więc napisać, że

\(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1=(x-1)\left( x^3- \frac{5}{2}x^2- \frac{3}{2} x-1\right) =0}\)

Teraz wystarczy znaleźć pierwiastki tego wielomianu trzeciego stopnia, co na razie mnie się nie udało, ale pomyślę nad tym.

Sama to napisałam wcześniej

Dodano po 29 minutach 46 sekundach:
Użyłam wzoru Cardano ale mam problem, w moim przypadku
\(\displaystyle{ x= y- \frac{5}{6} }\)
po czym gdy to podstawiam wychodzi mi
\(\displaystyle{ 2x^3 - 10x^2 + \frac{19}{2}x-\frac{223}{54}}\)
Z tego co rozumiałam nie powinno mi nic wychodzić przy \(\displaystyle{ x^2 }\)

Kobieto, musisz podstawić

\(\displaystyle{ x= y+ \frac{5}{6} }\)

sprawdź sama że zachodzi równość :

\(\displaystyle{ \left( y+ \frac{5}{6}\right)^3- \frac{5}{2}\left( y+ \frac{5}{6}\right)^2- \frac{3}{2}\left( y+ \frac{5}{6}\right)-1=y^3- \frac{43}{12} y- \frac{92}{27} .}\)

Tak zrobiłam tylko dałam zły znak już ok

Nadine pisze: ↑4 lis 2019, o 11:44 Znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu \(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1}\). Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste tego wielomianu.

Jan Kraszewski pisze: ↑4 lis 2019, o 22:24 W ogólności: wzory Cardano (brrr...).

JK

Pierwiastki wymierne: \(\displaystyle{ x_1 = 1}\), pierwiastki rzeczywiste: \(\displaystyle{ x_1 = 1,\ x_2\approx 2,2568}\)
są jeszcze 2 zespolone: \(\displaystyle{ z_{1,2} \approx -1,1284 \pm 0,4864\cdot i}\).
DG

Mnie uczono, że jeżeli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. A jak wymierne to są one dzielnik wyrazu wolnego przez dzielnik wyrazu przy najwyższej potędze, ale ja się nie znam.

Niepokonana pisze: ↑28 lis 2019, o 15:48 Mnie uczono, że jeżeli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. A jak wymierne to są one dzielnik wyrazu wolnego przez dzielnik wyrazu przy najwyższej potędze,

O ile jest to wielomian o współczynnikach całkowitych.

Ale co to ma wspólnego z tym tematem?

JK

Mówię, jak zrobić to zadanie. W tym przypadku wystarczy przemnożyć wielomian przez 2 i będą całkowite.

A przeczytałaś ten temat? To nie pomoże, bo ten wielomian ma tylko jeden pierwiastek całkowity (wymierny). Do tego jeden niewymierny i dwa zespolone.

JK

Wracam do tego tematu aby się sprawdzić do końca.
Z tego co rozumiem dalej lecę tak
\(\displaystyle{
y^3-\frac{43y}{12}-\frac{92}{27}
}\)
\(\displaystyle{
y=s+\frac{43}{36s}
}\)
\(\displaystyle{
s^3 + \frac{79507}{46656 s^3} - \frac{92}{27} =0
}\)
\(\displaystyle{
z=s^3
}\)
\(\displaystyle{
z^2-\frac{92z}{27}+\frac{79507}{46656}=0
}\)
I dobra z tego policzę pierwiastki z ale co później, wracać jakoś czy te pierwiastki są moim rozwiązaniem

A któż tak podnosi sumy do trzeciej potęgi?

Masz szczęście, że jeszcze nie wyrzuciłem tych kartek i mogę coś przepisać
W wiekowym (tak jak i ja) poradniku encyklopedycznym matematyka I.Bronsztejna znalazłem trochę inną, wygodniejszą postać kanoniczną

\(\displaystyle{ y^3+3py +2q = 0}\)

ale dalej liczy się podobnie czyli

\(\displaystyle{ 3p = -\frac{43}{12},\ 2q =-\frac{92}{27}}\).

Teraz wyznacznik \(\displaystyle{ D = q^2 + p^3 > 0 \Rightarrow}\) 1 pierwiastek rzeczywisty\(\displaystyle{ (y_1)}\) i 2 zespolone \(\displaystyle{ (y_2, y_3)}\)

\(\displaystyle{ y_1 = u + v,\\ y_2 = \epsilon_1 u + \epsilon_2 v,\\ y_3 = \epsilon_2 u + \epsilon_1 v}\),

gdzie \(\displaystyle{ u = \sqrt[3]{-q+\sqrt{D}},\ \ v = \sqrt[3]{-q-\sqrt{D}}}\),

a \(\displaystyle{ \epsilon_1, \ \epsilon_2}\) są pierwiastkami r-nia: \(\displaystyle{ x^2 + x +1 = 0 \Rightarrow \ \epsilon_1 = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2},\ \ \epsilon_2 = -\frac{1}{2} -i \frac{\sqrt{3}}{2}}\).

Czy zawsze są to pierwiastki równania
\(\displaystyle{
x^2+x+1=0
}\)
czy to tylko w moim przypadku?

Nie przeliczałem nieskończonej ilości równań 4 stopnia ale wydaje mi się, że tak.