Pierwiastki

[Nadine]

Znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu \(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1}\). Znajdź wszystkie pierwiastki
rzeczywiste tego wielomianu. Moim pytaniem jest jaka właściwie jest różnica między pierwiastkiem wymiernym, a rzeczywistym.

[Jan Kraszewski]

Każdy pierwiastek wymierny jest pierwiastkiem rzeczywistym, ale nie każdy pierwiastek rzeczywisty jest pierwiastkiem wymiernym (bo każda liczba wymierna jest liczbą rzeczywistą, ale nie każda liczba rzeczywista jest liczbą wymierną...).

JK

[Niepokonana]

Przykładowo pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą rzeczywistą, ale nie jest wymierną, rozszerzenie tego ułamka ma nieskończoność cyfr po przecinku, które nie układają się w jakichś powtarzających się cyklach - dlatego niewymierna. Taki przykład.

[Jan Kraszewski]

rozszerzenie tego ułamka

Nie rozszerzenie, tylko rozwinięcie (dziesiętne) i nie ułamka (bo to nie jest ułamek), tylko liczby.

ma nieskończoność cyfr po przecinku, które nie układają się w jakichś powtarzających się cyklach - dlatego niewymierna.

Pomyliłaś przyczynę ze skutkiem. Ta liczba nie jest niewymierna dlatego, że ma nieokresowe, niecykliczne rozwinięcie dziesiętne (a skąd wiesz, że jest takie?), tylko ma takie rozwinięcie dlatego, że jest niewymierna.

JK

[Niepokonana]

Ano przepraszam. Czyli liczba jest niewymierna, jak ma rozwinięcie dziesiętne, które nie jest regularne.

[Jan Kraszewski]

Ano przepraszam. Czyli liczba jest niewymierna, jak ma rozwinięcie dziesiętne, które nie jest regularne.

Odwrotnie: liczba ma rozwinięcie dziesiętne, które nie jest ani skończone, ani okresowe, jak jest niewymierna. Mylisz kierunek implikacji.

JK

[Niepokonana]

A ok.

Dodano po 9 minutach 47 sekundach:
Czyli liczby niewymierne to wszelkie pierwiastki dodatnich z liczb niebędących kwadratami liczb naturalnych np. \(\displaystyle{ \sqrt{35}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\), liczba \(\displaystyle{ \pi}\) itd.
Taki tam tylko przykład, żeby to lepiej zobrazować.

[Jan Kraszewski]

Czyli liczby niewymierne to wszelkie pierwiastki dodatnich z liczb niebędących kwadratami liczb naturalnych np. \(\displaystyle{ \sqrt{35}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\), liczba \(\displaystyle{ \pi}\) itd.

Tak, to wszystko są liczby niewymierne (o ile pisząc o pierwiastkach miałaś na myśli pierwiastki z liczb naturalnych), ale liczb niewymiernych jest dużo, dużo więcej. Ale to już kwestia na osobny temat.

Wracamy do rzeczywistych/wymiernych pierwiastków podanego wielomianu.

JK

[Psiaczek]

Wracamy do rzeczywistych/wymiernych pierwiastków podanego wielomianu.

Suma współczynników wielomianu wynosi \(\displaystyle{ 0}\) zatem liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem wymiernym, ale po podzieleniu przez dwumian \(\displaystyle{ x-1}\) zaczynają się schody ja tej postaci ze wzorów Cardano nie mam zdrowia wpisywać , drugi pierwiastek rzeczywisty to

\(\displaystyle{ 3,09013860341700619...}\)

[Jan Kraszewski]

Zaczął bym (po wymnożeniu obustronnie przez \(2\)) od twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wtedy przynajmniej to jedno będziemy mieć z głowy.

JK

[Nadine]

Dziękuję za tak liczne odpowiedzi. Czyli z tego co rozumiem na start rozkładam to na pierwiastki wymierne. Po obliczeniach wyszło mi, że faktycznie tylko 1 pasuje. Nie do końca rozumiem jednak jak znaleźć resztę rzeczywistych z \(\displaystyle{ 2x^3-5x^2-3x-2 }\) gdyby wielomian był mniejszy liczyłabym deltę, a tu?

[Jan Kraszewski]

W ogólności: wzory Cardano (brrr...).

JK

[Psiaczek]

możesz sprowadzić to równanie odpowiednim podstawieniem do takiego , które nie zawiera wyrazu z drugą potęgą , a potem jest kilka możliwości, ale to długie dosyć, dam ci odnośnik do tematu gdzie wiele lat temu coś podobnego przeliczałem

viewtopic.php?f=27&t=275525

[Dilectus]

\(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1=0}\)

Łatwo zgadnąć, że jednym z pierwiastków tego równania jest liczba 1. Możemy więc napisać, że

\(\displaystyle{ x^4 − \frac{7x^3}{2} + x^2 +\frac{x}{2} + 1=(x-1)\left( x^3- \frac{5}{2}x^2- \frac{3}{2} x-1\right) =0}\)

Teraz wystarczy znaleźć pierwiastki tego wielomianu trzeciego stopnia, co na razie mnie się nie udało, ale pomyślę nad tym.

[Jan Kraszewski]

Teraz wystarczy znaleźć pierwiastki tego wielomianu trzeciego stopnia, co na razie mnie się nie udało, ale pomyślę nad tym.

Wszystko to, co napisałeś, pojawiło się wcześniej w tym wątku. Po co to powtarzasz?

JK