Wyznaczanie współczynników wielomianu.

[efcia33]

wyznacz a i b ,tak aby wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4+x^2+ax+b}\) byl podzielny przez \(\displaystyle{ x^2 -1}\). niewiem czy cos z tego wyszlo? jesli nie to z gory przepraszam

[Skrzypu]

\(\displaystyle{ x^2-1=(x-1)(x+1)}\)

Podziel ten wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\) i reszta musi być równa 0, następnie ten otrzymany wielomian podziel przez \(\displaystyle{ x+1}\) i reszta też mus ibyć równa 0, otrzymasz układ dwóch równań o dwóch niewiadomych a, b

[efcia33]

Dziekuje bardzo.Czy moglabym zobaczyc dalsze rozwiazanie?

[ Dodano: Czw Mar 03, 2005 5:12 pm ]
Skrzypu, dzieki za podpowiedz ,prosze o wiecej

[Arbooz]

Robi się to mniej więcej tak:

\(\displaystyle{ W(x) = x^4 + x^2 +ax + b}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^3(x+1) - x^3 + x^2 +ax +b}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^3(x+1) - x^2(x+1) + 2x^2 +ax + b}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^3(x+1) - x^2(x+1) +2x(x+1) + (a-2)x +b}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^3(x+1) - x^2(x+1) +2x(x+1) + (a-2)(x+1) - a + 2 + b}\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x^3 - x^2 + 2x + a - 2) + (b - a +2)}\)

w ten sposób wyciągnąłem z wielomianu czynnik x+1, więc aby wielomian dzielił się przez x+1 otrzymany wyraz wolny musi być zerem.
Zatem

\(\displaystyle{ b - a + 2 = 0}\)

Analogicznie wyciągamy z wielomianu W(x) czynnik x-1.
Otrzymam w ten sposób następującą postać:

\(\displaystyle{ W(x) = (x-1)(x^3 + x^2 + 2x + a + 2) + a + b + 2}\)

zatem

\(\displaystyle{ a + b + 2 = 0}\)

Teraz wystarczy już rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi:

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}b-a+2=0\\a+b+2=0\end{array}\right}\)

[efcia33]

Arbooz, Dziękuję bardzo

[olazola]

Mój sposób:
W(-1)=0 i W(1)=0 czyli:

\(\displaystyle{ \{(-1)^4+(-1)^2-a+b=0\\1^4+1^2+a+b=0}\)

\(\displaystyle{ \{-a+b=-2\\a+b=-2}\)
Może nic nowego nie wnosi, ale pozwoliłam sobie go umieścić.

[efcia33]

dzieki.wszystkie podpowiedzi sa dla mnie cenne.