Wartości parametrów wielomianu, a nierówności

[Ziomek_89]

Witam wszystkich,

Mam ostatnio parę przemyśleń dotyczących wielomianów (tak jakoś natchnęło mnie ostatnio, żeby bawić się matematyką). Chciałem sobie uporządkować wiedzę dotyczącą rozwiązania pewnego zagadnienia, a chodzi o znajdywanie parametrów \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) wielomianu \(\displaystyle{ f(x)}\) przy założeniu, że rozpatrujemy pewien przedział \(\displaystyle{ x _{a} }\) do \(\displaystyle{ x_{b}}\), w którym wartości funkcji nie są większe niż \(\displaystyle{ y_{max}}\). Pierwsze co przyszło mi naturalnie do głowy to pewna nierówność: \(\displaystyle{ f(x) \le y_{max}}\) tylko już potem nie do końca wiem jak to związać z podanym przedziałem. Dodatkowo jak wpleść tam oszacowanie wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b,c,d }\) ? Powiedźmy, że mam taki wielomian: \(\displaystyle{ f(x)=a \cdot x ^{3}+a \cdot b \cdot x^{2}+d}\). Oczywiście to jest przykładowy wielomian i chciałbym się pobawić innymi funkcjami (np. wymiernymi).

Pozdrawiam,
E.

[szw1710]

Rozważmy przedział \([0,1]\) i wielomiany postaci \(cx^2\cdot x(x-1).\) Jest on \(\le 0\) w tym przedziale niezależnie od wartości współczynnika \(c>0\). Tak więc szacowanie współczynników wielomianu nie ma większego sensu.

[Ziomek_89]

To może ujmę mój problem inaczej... powiedźmy, że mam określony przedział \(\displaystyle{ x_{a}...x_{b}}\). Zakładam teraz, że mam dowolną funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\), która zawiera w sobie parametry \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) . No i teraz tak - chce dobrać parametry tej funkcji w taki sposób, żeby w tym konkretnym przedziale jej wartości były mniejsze niż zadana wartość \(\displaystyle{ y_{max}}\). Jak takie zagadnienie ugryźć ? Mam dowolny wielomian o nieznanych współczynnika, zakres \(\displaystyle{ [0,2 \pi ]}\) i \(\displaystyle{ y_{max} = -2 }\) - od czego powinienem zacząć, żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ a,b,c,d }\) ?

Dodano po 1 dniu 23 godzinach 38 minutach 36 sekundach:
Jakieś podpowiedzi, sugestie ?

[matmatmm]

Zakładam teraz, że mam dowolną funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\), która zawiera w sobie parametry \(\displaystyle{ a, b, c, d}\)

To jest zbyt ogólne pytanie, ale dla wielomianów coś tam chyba da się zrobić. Pokażę to na przykładzie wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 2}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\).

Chcemy, żeby dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in[p,q]}\) zachodziło \(\displaystyle{ f(x)\leq y}\), gdzie \(\displaystyle{ y}\) jest dane. Zasadniczo trzeba policzyć wszystkie możliwe zbiory wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) w tym przedziale (w zależności od parametrów \(\displaystyle{ a,b,c,p,q}\)) i jest to typowe szkolne zadanie z funkcji kwadratowej, ale w tym momencie problem rozpada się na kilka przypadków:

1. \(\displaystyle{ a>0}\)
   1. Wierzchołek paraboli leży w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,p]}\)
   • Wierzchołek paraboli leży w przedziale \(\displaystyle{ (p,q)}\)
   • Wierzchołek paraboli leży w przedziale \(\displaystyle{ [p,+\infty)}\)

• \(\displaystyle{ a<0}\)
  1. Wierzchołek paraboli leży w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,p]}\)
  • Wierzchołek paraboli leży w przedziale \(\displaystyle{ (p,q)}\)
  • Wierzchołek paraboli leży w przedziale \(\displaystyle{ [p,+\infty)}\)

Chcąc mieć wzory ogólne, trzeba by to wszystko przeliczyć.

Przechodząc na przykład do wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 3}\) również jest to wykonalne, tylko trzeba by zrobić pełny przebieg zmienności funkcji np. przez analizę pochodnej. Pochodna będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 2}\), stąd wzory w dalszym ciągu będą jawne.

Przechodząc do wielomianu dowolnego stopnia, nie da się tego zrobić przez wzory jawne, bo ekstrema lokalne są miejscami zerowymi pochodnej, która jest wielomianem stopnia o jeden mniejszego, a skądinąd wiadomo, że począwszy od stopnia \(\displaystyle{ 5}\) takich wzorów jawnych nie ma.

[Ziomek_89]

matmatmm dziękuję za odpowiedź - tak czułem, że trzeba będzie użyć pochodnych dokładnie tak, jak to opisałeś - myślałem, że jest jeszcze jakaś metoda. Dzięki

Wiem, że pytanie jest mega ogólne bo i problem z jakim przyszło mi na początku się zmierzyć jest hmmm zbyt ciężki dla mnie do rozpatrzenia "na pierwszy rzut oka". Zaczęło się od tego, że wyznaczyłem pewną odpowiedź układu automatyki - transmitancja \(\displaystyle{ f(x)}\)wyszła nie tyle skomplikowana co bardzo duża (chodzi mi o sam zapis funkcji opisującą działanie układu w dziedzinie częstotliwości - oznaczonej jako \(\displaystyle{ x}\)). Dodatkowo taka funkcja zawiera w sobie kilka parametrów stałych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), opisujących ten konkretny układ. Zauważyłem po pewnym czasie, że w pewnym przedziale częstotliwości charakterystyka tegoż układu wygląda dokładnie jak wielomian czebyszewa \(\displaystyle{ T_{n}(x)}\) (a właściwie odpowiedź filtru czebyszewa). Pierwsze co przychodzi do głowy to porównaniu obu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=T_{n}(x)}\) i próba wyliczenia tych stałych parametrów \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) w celu zapewnienia podobieństwa odpowiedzi układu w przedziale do wspominanej odpowiedzi czebyszewa. Problem jest tylko taki jak w tym wszystkim ująć zmienną \(\displaystyle{ x}\), która stałą nie jest. Jeśli mam dwa minima funkcji w rozpatrywanym przedziale, a wezmę tylko taką wartość x'a, która odpowiada jednemu minimum to ucieka mi informacja o tym drugim. Rozpatrzeniu obu osobno może dać dwie różne wartości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i nie wiem jak to skleić... Od tego pierwotne pytanie się wzięło bo zacząłem po prostu szukać innych rozwiązań i podejść.

Dodano po 59 minutach 42 sekundach:
Nawiązując do ogólnego problemu i porównania dwóch funkcji \(\displaystyle{ f(x)=T_{n}(x)}\) - zastanawia mnie jak można by przeliczyć prosty przykład:
\(\displaystyle{ a \cdot \sin(x)+\tan( \frac{x}{2} ) = 0,1 \cdot \cos(x) }\) Jak można z takiego równania wyliczyć parametr \(\displaystyle{ a}\) ? Zwykłe przekształcenia algebraiczne tutaj raczej nić nie dadzą, ponieważ nie wiem jaką wartość wstawić za \(\displaystyle{ x}\). Czy jest jakaś dodatkowa zasada ?

[a4karo]

A co chcesz liczyć w tym ukłądzie? przecież po wstawieniu \(x=0\) dostajesz \(0=0.1\) dla dowolnego \(a\).

Piszesz o porównywaniu funkcji, czy o rozwiązaniu równania. Pytam, bo trochę sie pogubiłem.

[Ziomek_89]

Chodzi mi o coś taki problem:
Załóżmy, że mamy jakąś funkcję, którą można narysować na wykresie (X, Y). Teraz powiedźmy, że empirycznie -np. symulacjami- potrafię sobie dobrać parametry \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) w taki sposób, aby w przedziale \(\displaystyle{ [x_{a}, x_{b}]}\) wartości omawianej funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) były mniejsze od jakiegoś ustalonego "progu" oznaczonego parametrem \(\displaystyle{ y _{m}}\). Teraz tak... powiedźmy, że we wspomnianym przedziale znajduję podobieństwo - po znormalizowaniu - do odpowiedzi filtru czebyszewa i wzór na tą odpowiedź znam z definicji, potrafię go analitycznie "skonstruować" - oznaczmy sobie tą funkcję jako \(\displaystyle{ T_{m}(x)}\). No i teraz chciałbym wyznaczyć analitycznie parametry \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) tej empirycznej funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) poprzez porównanie ich obu tzn. \(\displaystyle{ f(x) = T_{m}(x)}\). Jeśli podstawię tylko jedną wartość x - np 0 tak jak to opisałeś - to nie sprawdzę pozostałych warunków jak np działa to dla x=1,2,4, itd. (powiedźmy, że wszystkie wartości x są z podanego przedziału).
Robiłem to do tej pory tak, że mając naprawdę duży wzór funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) przyrównywałem do wielomianu czebyszewa II-stopnia, za x podstawiałem jakąś charakterystyczną wartość - np tam gdzie występuje jedno ekstremum lokalne, przekształcałem - wychodził układ 4-równań i znajdywałem parametry funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\). Gdy potem wyrysowywałem funkcję z nowymi, analitycznymi parametrami \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) to jedyna zgodność z funkcją czebyszewa była tylko i wyłącznie dla tej konkretnej wartości x. Stąd moje pytanie.

Dodano po 20 godzinach 57 minutach 7 sekundach:
Próbowałem jeszcze metody aproksymacji ale utknąłem...

Dodano po 1 dniu 2 godzinach 52 minutach 44 sekundach:
Pokomplikowałem swój problem ?:D