Matematyka.pl

Wykaż że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{3} - x^{2}}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ -10}\) w przedziale \(\displaystyle{ (-3,-2)}\)
Gotowca potrzebuję

Nie przyjmuje

Faktycznie, zły wykres zrobiłam.
A jak to udowodnić?

anna_ pisze: ↑22 paź 2019, o 19:11 Faktycznie, zły wykres zrobiłam.
A jak to udowodnić?

chyba ktoś przechwycił to konto, dawna anna nie zadawałaby takich pytań

pochodna \(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-2x}\) jest dodatnia w tym przedziale ,\(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca ,\(\displaystyle{ f(-3)=-36}\),\(\displaystyle{ f(-2)=-12}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest wielomianem trzeciego stopnia - funkcją ciągłą i rosnącą w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, 0 )}\) (proszę spawdzić).

Na końcach przedziału \(\displaystyle{ [ -3 , -2], }\) przyjmującą odpowiednio wartości \(\displaystyle{ f(-3) = -36, \ \ f(-2) = -12,}\)
nie może więc przyjąć w tym przedziale wartości \(\displaystyle{ -10, }\) która nie jest wartością pośrednią między \(\displaystyle{ -36\ \ i \ \ -12. }\)

Proszę zapoznać się z twierdzeniem (własnością ) Darboux.

Nikt nie przechwycił. Pisano mi, że trzeba udowodnić ciągłość, a tego to ja już nie pamiętam.

Własność Darboux nie jest potrzebna do uzasadnienia nieprzyjmowania wartości \(-10\) - wystarczy monotoniczność.

JK

Jak się to zapisze, że \(\displaystyle{ f(x)=x^3+\left( -x^2\right) }\) to lepiej widać, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest sumą funkcji rosnących (na interesujących nas przedziałach) więc sama też jest rosnąca i stąd wniosek.