Wielomian wielu zmiennych jako forma.

[pasjonat_matematyki]

Witam

Aby wielomian \(\displaystyle{ f(x _{1} , x _{2} , ..., x _{n} )}\) był formą \(\displaystyle{ h}\)-tego stopnia potrzeba, aby dla każdej liczby \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ f(t x _{1} , t x _{2} , ..., t x _{n} ) = t ^{h} f(x _{1} , x _{2} , ..., x _{n} )}\)
Jest to jednak warunek konieczny. Dostateczny brzmi: Wystarczy by powyższa równość zachodziła dla pewnego \(\displaystyle{ t}\) różnego od jedynki i zera.
Moje pytanie brzmi: Jaki na przykład wielomian spełnia warunek konieczny, a nie spełnia dostatecznego?

[Premislav]

Żaden. Miałeś w szkole logikę?

[pasjonat_matematyki]

Tak. Miałem też pochodne. Warunek konieczny istnienia ekstremum w danym punkcie to zerowanie się w nim pochodnej. Warunek dostateczny to zmiana znaku pochodnej w tym punkcie. I teraz można podać przykład konkretnej funkcji, która spełnia warunek konieczny, a nie spełnia dostatecznego. W wątku natomiast chodzi o warunek konieczny i dostateczny bycia formą. Chodziło mi o to, czy można na zasadzie analogii przytoczyć jakiś (jakikolwiek) konkret, który w tym przypadku spełnia warunek konieczny, a nie spełnia dostatecznego.

[Premislav]

No to skoro miałeś logikę (to nie miała być żadna wycieczka osobista), to powinieneś być w stanie wywnioskować samodzielnie tę odpowiedź, którą ja napisałem. Ktoś to sobie odrobinę niefortunnie nazwał po prostu, a to dlatego, że jeśli
\(\displaystyle{ (\forall t\in \CC)f(tx_1, \ldots tx_n)=t^{h}f(x_1, \ldots x_n)}\),
to tym bardziej
\(\displaystyle{ (\exists t\in \CC\setminus\left\{0,1\right\})f(tx_1, \ldots tx_n)=t^{h}f(x_1, \ldots x_n)}\).
Stąd wynika niemożność wskazania takiego „kontrprzykładu", jaki chciałeś widzieć.

[Gosda]

Szukasz wielomianu, który spełnia jednocześnie dwa warunki:
- dla każdej liczby \(\displaystyle{ t}\) zachodzi równość ... (warunek konieczny)
- nie istnieje liczba \(\displaystyle{ t}\) różna od zera, jedynki, dla której zachodzi równość ... (zaprzeczenie dostatecznego).

A więc nie, taki wielomian nie istnieje. Czyli wygląda na to, że

wielomian wielu zmiennych jest jednorodny \(\displaystyle{ \iff}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ t}\) zachodzi równość ... (z Twojego pierwszego posta).

[pasjonat_matematyki]

No i wywnioskowałem. Dokładnie to, co napisałeś. Wydało mi się to zbyt proste.

[pasjonat_matematyki]

A jednak jest tu pewna rzecz, która mnie gryzie. Wyjaśnię na przykładzie.
Weźmy prostą implikację \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\),
gdzie \(\displaystyle{ p}\): liczba \(\displaystyle{ x}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\),
\(\displaystyle{ q}\): liczba \(\displaystyle{ x}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
Mówimy wtedy, że \(\displaystyle{ q}\) jest warunkiem koniecznym na \(\displaystyle{ p}\), a \(\displaystyle{ p}\) warunkiem dostatecznym na \(\displaystyle{ q}\).
Można też przeprowadzić dowód tego twierdzenia, ale będzie to jeden dowód.
Tymczasem w przypadku na przykład pochodnych przeprowadza się dwa dowody: dowód konieczności i dostateczności istnienia ekstremum.
Gdy pochodna się nie zeruje, to funkcja rośnie lub maleje, więc nie ma szans na zaistnienie ekstremum. Z kolei w dowodzie dostateczności można posłużyć się wzorem Taylora.
To o czym piszesz jest zwykłą relacją między zbiorami. Innymi słowy: Skoro coś (cokolwiek) zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ t}\), to tym bardziej dla jakiegoś bez zera i jedynki. I jest to prawdą bez względu na to, czy mowa o wielomianach, czy o czymś innym. I oczywiście można obie strony takiej relacji tak jak wyżej w przykładzie z podzielnością nazwać warunkiem koniecznym i dostatecznym. Jeśli jednak podejść do sprawy jako do warunku koniecznego i dostatecznego istnienia formy, to dowodzi się ich obu i w podręczniku są oba te dowody.

[Premislav]

Tyle że ekstremum ma ścisłą definicję nieodwołującą się do pochodnej, natomiast chyba nie przedstawiłeś takiej definicji formy \(\displaystyle{ h}\)-tego stopnia, która nie odwoływałaby się do żadnego z wymienionych warunków (nazwanych w Twoim poście koniecznym i dostatecznym). Chociaż moje wrażenie jest takie, że to:

Aby wielomian \(\displaystyle{ f(x _{1} , x _{2} , ..., x _{n} )}\) był formą \(\displaystyle{ h}\)-tego stopnia potrzeba, aby dla każdej liczby \(\displaystyle{ t}\):
\(\displaystyle{ f(t x _{1} , t x _{2} , ..., t x _{n} ) = t ^{h} f(x _{1} , x _{2} , ..., x _{n} )}\)

miało być definicją formy \(\displaystyle{ h}\)-tego stopnia. Mówienie tutaj o warunku koniecznym i dostatecznym trochę pomieszało Ci szyki, jak się zdaje.

A tak w ogóle, to nad jaką strukturą i na jakim poziomie ogólności rozważasz ten wielomian (to powinno być napisane)? Bo jeśli zamiast \(\displaystyle{ \CC}\), które sobie przyjąłem, tam powinno być np. \(\displaystyle{ \ZZ_2}\), to między tymi warunkami nie ma żadnej różnicy. Trochę to żart, ale tylko trochę.

[Gosda]

Z tym, że trzeba uważać, bo \(\displaystyle{ \mathbb Z_n}\) dla pierwszych liczb \(\displaystyle{ n}\) oznacza inny pierścień niż większości osób na pierwszym kursie z algebry się wydaje Mam wrażenie, że definicja jest taka:

Wielomian nazywamy formą \(\displaystyle{ h}\)-tego stopnia, jeśli jest on sumą jednomianów stopnia \(\displaystyle{ h}\).

Na przykład \(\displaystyle{ P(x, y, z) = 7x^4 y z^2 - 5 xyz^5}\) jest formą siódmego stopnia.

[Premislav]

Pies z kulawą nogą nie zna liczb p-adycznych. Ale niech będzie \(\displaystyle{ \ZZ/2\ZZ}\).