Wielomian i jedynki

[mol_ksiazkowy]

Wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=x}\) i \(\displaystyle{ W(x)=9x^2+2x}\) mają tę własność, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą jedynkową, to \(\displaystyle{ W(x)}\) też jest liczbą jedynkową, Czy są inne wielomiany o tej własności ?

tj. liczby \(\displaystyle{ 1, 11, 111, ....}\)

[MrCommando]

Wielomiany stałe Takie jak \(\displaystyle{ W(x)\equiv 111}\) .

[kerajs]

Jest ich nieskończenie wiele.
Przykładowy:
\(\displaystyle{ G(x)=81x^2+27x^2+3x}\)

Konstrukcja jest dość prosta przyjmując że liczby jedynkowe są postaci: \(\displaystyle{ \frac{10^n-1}{9}}\)

[Lider_M]

\(\displaystyle{ W(x)=10x+1}\), \(\displaystyle{ W(x)=100x+11}\).

[Dasio11]

Nietrudno pokazać, że:

- dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f(n) = a \cdot n + b}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \NN, b \in \ZZ}\), a ponadto \(\displaystyle{ a+b \ge 1}\), istnieje dokładnie jeden wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\), taki że

\(\displaystyle{ W( \underbrace{1 \ldots 1}_{n} ) = \underbrace{1 \ldots 1}_{f(n)}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\);

- każdy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) spełniający warunki zadania jest powyższej postaci.