Problem z równaniem wielomianowym
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 30 gru 2018, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 5 razy
Problem z równaniem wielomianowym
Dzień dobry,
mam problem z następującym równaniem:
\(\displaystyle{ x^{3} - 3\sqrt[3]{2}x + 2 = 0}\)
Chodzi mi o jakiś algebraiczny sposób rozwiązania tego.
Próbowałem różnymi metodami i jedynie jakieś tam internetowe solvery dawały sobie radę chyba numerycznie.
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam serdecznie.
mam problem z następującym równaniem:
\(\displaystyle{ x^{3} - 3\sqrt[3]{2}x + 2 = 0}\)
Chodzi mi o jakiś algebraiczny sposób rozwiązania tego.
Próbowałem różnymi metodami i jedynie jakieś tam internetowe solvery dawały sobie radę chyba numerycznie.
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam serdecznie.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
Poczytaj może o wzorach Cardana.
Kod: Zaznacz cały
https://brilliant.org/wiki/cardano-method/
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
Akurat tu jeden z pierwiastków można odgadnąć. To \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{4}}\) , gdyż :
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{4})^3-3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}+2 =4-3 \cdot 2+2=0}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{4})^3-3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}+2 =4-3 \cdot 2+2=0}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
\(\displaystyle{ x^{3} - 3\sqrt[3]{2}x + 2 = 0\\
x=u+v
x^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\\
x^3=3uv\left( u+v\right) +u^3+v^3\\
x^3=3uvx+u^3+v^3\\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} uv= \sqrt[3]{2} \\ u^3+v^3=-2 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3v^3=2 \\ u^3+v^3=-2 \end{cases} \\
t^2+2t+2=0\\
\left( t+1\right)^2+1=0\\
\left( t+1-i\right)\left( t+1+i\right)=0\\}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{-1+i} + \sqrt[3]{-1-i} \\
x_{1}= \sqrt[6]{2}\left(\cos{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right) }+i\sin{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right) }\right) + \sqrt[6]{2}\left(\cos{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right) }-i\sin{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right) }\right)}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2 \sqrt[6]{2}\cos{ \frac{\pi}{4} }\\
x_{2}=2\sqrt[6]{2}\cos{ \frac{11\pi}{12} }\\
x_{3}=2\sqrt[6]{2}\cos{ \frac{19\pi}{12} }\\}\)
x=u+v
x^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\\
x^3=3uv\left( u+v\right) +u^3+v^3\\
x^3=3uvx+u^3+v^3\\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} uv= \sqrt[3]{2} \\ u^3+v^3=-2 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3v^3=2 \\ u^3+v^3=-2 \end{cases} \\
t^2+2t+2=0\\
\left( t+1\right)^2+1=0\\
\left( t+1-i\right)\left( t+1+i\right)=0\\}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{-1+i} + \sqrt[3]{-1-i} \\
x_{1}= \sqrt[6]{2}\left(\cos{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right) }+i\sin{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right) }\right) + \sqrt[6]{2}\left(\cos{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right) }-i\sin{ \left( \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right) }\right)}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2 \sqrt[6]{2}\cos{ \frac{\pi}{4} }\\
x_{2}=2\sqrt[6]{2}\cos{ \frac{11\pi}{12} }\\
x_{3}=2\sqrt[6]{2}\cos{ \frac{19\pi}{12} }\\}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 30 gru 2018, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 5 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
Wielkie dzięki mariuszm, Premislav oraz kerajs.
Na pewno poczytam sobie o wzorach Cardana, nigdy o tym nie słyszałem, a wstyd, bo studiuję na kierunku ścisłym, takie równania nie powinny sprawiać już problemu na poziomie maturalnym.
kerajs jeszcze raz dzięki, sprytnie to zauważyłeś i rzeczywiście to jest pierwiastek tego równania.
Natomiast mariuszm, nieźle się rozpisałeś, widzę że użyłeś jakichś dwóch dodatkowych zmiennych, ale muszę się lepiej temu przyjrzeć. No niestety jak sprawdzałem te x1, x2 i x3, to nie są pierwiastki tego równania. <- Są, tylko kalkulator był ustawiony na stopnie, a nie na radiany.
Według desmosa (programu do rysowania funkcji) pierwiastki powinny wynosić:
\(\displaystyle{ x _{1} = -2,168}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = 0,581}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \sqrt[3]{4}}\) //Wspomniane przez kerajs
Jeszcze raz dzięki wszystkim za odpowiedzi.
Na pewno poczytam sobie o wzorach Cardana, nigdy o tym nie słyszałem, a wstyd, bo studiuję na kierunku ścisłym, takie równania nie powinny sprawiać już problemu na poziomie maturalnym.
kerajs jeszcze raz dzięki, sprytnie to zauważyłeś i rzeczywiście to jest pierwiastek tego równania.
Natomiast mariuszm, nieźle się rozpisałeś, widzę że użyłeś jakichś dwóch dodatkowych zmiennych, ale muszę się lepiej temu przyjrzeć. No niestety jak sprawdzałem te x1, x2 i x3, to nie są pierwiastki tego równania. <- Są, tylko kalkulator był ustawiony na stopnie, a nie na radiany.
Według desmosa (programu do rysowania funkcji) pierwiastki powinny wynosić:
\(\displaystyle{ x _{1} = -2,168}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = 0,581}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \sqrt[3]{4}}\) //Wspomniane przez kerajs
Jeszcze raz dzięki wszystkim za odpowiedzi.
Ostatnio zmieniony 21 cze 2019, o 19:52 przez MSZ98, łącznie zmieniany 1 raz.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
Ale to są przybliżenia a mariuszm, podał wartości dokładne jak je przybliżysz to wyjdzie to samo. Swoją drogą mariuszm wykorzystał wzory Cardana o których mówił Premislav a ich przydatność na maturze i studiach technicznych (gdzie wszystko się przybliża) jest mocno wątpliwa. Te wzory raczej dla pasjonatów.Według desmosa (programu do rysowania funkcji) pierwiastki powinny wynosić:
\(\displaystyle{ x _{1} = -2,168}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = 0,581}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \sqrt[3]{4}}\) //Wspomniane przez kerajs
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
Przy odpowiedniej dozie cierpliwości można jeszcze pokazać:
\(\displaystyle{ x_{1}=2 \sqrt[6]{2}\cos{ \frac{\pi}{4} }=\sqrt[3]{4}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=2 \sqrt[6]{2}\cos{ \frac{11\pi}{12} }=- \frac{1+ \sqrt{3} }{ \sqrt[3]{2} }}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=2 \sqrt[6]{2}\cos{ \frac{19\pi}{12} }=\frac{ \sqrt{3}-1 }{ \sqrt[3]{2} }}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=2 \sqrt[6]{2}\cos{ \frac{\pi}{4} }=\sqrt[3]{4}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=2 \sqrt[6]{2}\cos{ \frac{11\pi}{12} }=- \frac{1+ \sqrt{3} }{ \sqrt[3]{2} }}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=2 \sqrt[6]{2}\cos{ \frac{19\pi}{12} }=\frac{ \sqrt{3}-1 }{ \sqrt[3]{2} }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 30 gru 2018, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 5 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
Ooo.. bardzo przepraszam mariuszm, nie zauważyłem, że mam kalkulator ustawiony na stopnie, a nie na radiany, dzięki jeszcze raz. Wszystko się zgadza, wyniki są zupełnie poprawne, rozumiem już te wzory, to odpowiednik delty (wyróżnika) i miejsc zerowych dla równania trzeciego stopnia.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
Janusz Tracz, co do równania trzeciego stopnia to
Wydaje mi się że nie istnieje żadna ogólna metoda rozwiązywania równań czwartego stopnia
która by nie wymagała rozwiązania równania trzeciego stopnia
jednak nie wiem jak to wykazać
Większość metod jakie widziałem wymaga rozwiązania równania szóstego stopnia
sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
Krysicki i Włodarski podają kilka ciekawych przykładów na równanie trzeciego stopnia
MSZ98,
Najpierw starasz się wyrugować wyraz z \(\displaystyle{ x^2}\)
Tutaj przydatny będzie wzór skróconego mnożenia
Zakładasz że pierwiastek równania jest w postaci sumy dwóch składników \(\displaystyle{ x=u+v}\),
podnosisz obustronnie do trzeciej potęgi korzystając z wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy ,
grupujesz prawą stronę równania i zauważasz że otrzymałeś równość w tej samej postaci
co równanie które chcesz rozwiązać
Porównujesz współczynniki i dostajesz układ równań który łatwo przekształcić w
wzory Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach \(\displaystyle{ u^3}\) o \(\displaystyle{ v^3}\)
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0\\
x=u+v\\
x^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\\
x^3=3uv\left( u+v\right)+u^3+v^3\\
x^3=3uvx+\left( u^3+v^3\right)\\
x^3-3uvx-\left( u^3+v^3\right)=0\\}\)
Porównując współczynniki dostajemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=-\frac{p^3}{27} \end{cases} \\}\)
Otrzymaliśmy układ równań który jest wzorami Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
\(\displaystyle{ t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0}\)
Rozwiązujesz równanie kwadratowe
Jeżeli znasz zespolone to nie musisz przypadku nieprzywiedlnego rozpatrywać osobno
korzystając z trygonometrii
Pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
dobierasz tak aby był spełniony układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}\\}\)
a szczególnie równanie
\(\displaystyle{ 3uv=-p}\)
Gdy już znajdziesz parę \(\displaystyle{ \left( u_{1},v_{1}\right)}\)
spełniającą układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}\\}\)
łatwo otrzymasz jeden pierwiastek równania
Pozostałe pierwiastki możesz otrzymać korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
\(\displaystyle{ \varepsilon_{0}=1\\
\varepsilon_{1}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }\\
\varepsilon_{2}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }}\)
Pozostałe pary \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\)
spełniające układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}\\}\)
są w postaci \(\displaystyle{ \left( \varepsilon_{k}u_{1},\varepsilon_{m}v_{1}\right)}\)
Takich par jest 9 ale tylko trzy spełniają układ równań
Gdybyś nie znał zespolonych to aby znaleźć pozostałe pierwiastki musiałbyś podzielić
wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ x-x_{1}}\)
i rozwiązać dodatkowe równanie kwadratowe
Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla równań czwartego stopnia
Tutaj zakładasz że pierwiastek jest w postaci sumy trzech składników
Przydadzą się jednak podstawowe wiadomości o wielomianach symetrycznych
aby doprowadzić równość do takiej postaci aby móc porównać współczynniki
Wydaje mi się że nie istnieje żadna ogólna metoda rozwiązywania równań czwartego stopnia
która by nie wymagała rozwiązania równania trzeciego stopnia
jednak nie wiem jak to wykazać
Większość metod jakie widziałem wymaga rozwiązania równania szóstego stopnia
sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
Krysicki i Włodarski podają kilka ciekawych przykładów na równanie trzeciego stopnia
MSZ98,
Najpierw starasz się wyrugować wyraz z \(\displaystyle{ x^2}\)
Tutaj przydatny będzie wzór skróconego mnożenia
Zakładasz że pierwiastek równania jest w postaci sumy dwóch składników \(\displaystyle{ x=u+v}\),
podnosisz obustronnie do trzeciej potęgi korzystając z wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy ,
grupujesz prawą stronę równania i zauważasz że otrzymałeś równość w tej samej postaci
co równanie które chcesz rozwiązać
Porównujesz współczynniki i dostajesz układ równań który łatwo przekształcić w
wzory Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach \(\displaystyle{ u^3}\) o \(\displaystyle{ v^3}\)
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0\\
x=u+v\\
x^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\\
x^3=3uv\left( u+v\right)+u^3+v^3\\
x^3=3uvx+\left( u^3+v^3\right)\\
x^3-3uvx-\left( u^3+v^3\right)=0\\}\)
Porównując współczynniki dostajemy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=-\frac{p^3}{27} \end{cases} \\}\)
Otrzymaliśmy układ równań który jest wzorami Vieta dla równania kwadratowego o pierwiastkach
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
\(\displaystyle{ t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0}\)
Rozwiązujesz równanie kwadratowe
Jeżeli znasz zespolone to nie musisz przypadku nieprzywiedlnego rozpatrywać osobno
korzystając z trygonometrii
Pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
dobierasz tak aby był spełniony układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}\\}\)
a szczególnie równanie
\(\displaystyle{ 3uv=-p}\)
Gdy już znajdziesz parę \(\displaystyle{ \left( u_{1},v_{1}\right)}\)
spełniającą układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}\\}\)
łatwo otrzymasz jeden pierwiastek równania
Pozostałe pierwiastki możesz otrzymać korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
\(\displaystyle{ \varepsilon_{0}=1\\
\varepsilon_{1}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }\\
\varepsilon_{2}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }}\)
Pozostałe pary \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\)
spełniające układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 3uv=-p \\ u^3+v^3=-q \end{cases}\\}\)
są w postaci \(\displaystyle{ \left( \varepsilon_{k}u_{1},\varepsilon_{m}v_{1}\right)}\)
Takich par jest 9 ale tylko trzy spełniają układ równań
Gdybyś nie znał zespolonych to aby znaleźć pozostałe pierwiastki musiałbyś podzielić
wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ x-x_{1}}\)
i rozwiązać dodatkowe równanie kwadratowe
Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla równań czwartego stopnia
Tutaj zakładasz że pierwiastek jest w postaci sumy trzech składników
Przydadzą się jednak podstawowe wiadomości o wielomianach symetrycznych
aby doprowadzić równość do takiej postaci aby móc porównać współczynniki
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 30 gru 2018, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 5 razy
Problem z równaniem wielomianowym
mariuszm no to teraz już nic nie wymaga wyjaśnień, wielkie dzięki za pomoc, rozumiem już o co chodzi. Zespolone umiem, studiuję elektrotechnikę.
Raz jeszcze dzięki. Problem uważam za rozwiązany, no ale nie ma sensu zamykać tematu, bo może ktoś ma jeszcze jakiś ciekawy sposób na takie rzeczy, także można poczekać.
Chyba najprościej jest zastosować tutaj właśnie te wzory Cardano, bo wystarczy deltę policzyć i miejsca zerowe są już w garści. Można to zaimplementować w jakimś programie przykładowo. Jednak ta metoda przedstawiona przez mariuszm wydaje mi się najbardziej intuicyjna. Nikt tej delty bez wzoru na kartce liczył nie będzie.
Raz jeszcze dzięki. Problem uważam za rozwiązany, no ale nie ma sensu zamykać tematu, bo może ktoś ma jeszcze jakiś ciekawy sposób na takie rzeczy, także można poczekać.
Chyba najprościej jest zastosować tutaj właśnie te wzory Cardano, bo wystarczy deltę policzyć i miejsca zerowe są już w garści. Można to zaimplementować w jakimś programie przykładowo. Jednak ta metoda przedstawiona przez mariuszm wydaje mi się najbardziej intuicyjna. Nikt tej delty bez wzoru na kartce liczył nie będzie.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Problem z równaniem wielomianowym
Aby mieć pewność że nie potrzebujesz wyjaśnień
przećwicz sobie tę metodę na jakichś przykładach
Ja kiedyś napisałem zarówno program do losowania współczynników
jak i do rozwiązywania równań wielomianowych do czwartego stopnia włącznie
Dla równań stopnia wielomianowych stopnia większego niż cztery
trzeba by było z jakichś metod numerycznych skorzystać
Wiesz coś o wielomianach symetrycznych ?
W skrócie wielomian jest symetryczny jeśli dowolna permutacja zmiennych nie zmienia wielomianu
Jeśli wiesz coś o wielomianach symetrycznych
to możemy spróbować uogólnić powyższy sposób na równania czwartego stopnia
przećwicz sobie tę metodę na jakichś przykładach
Ja kiedyś napisałem zarówno program do losowania współczynników
jak i do rozwiązywania równań wielomianowych do czwartego stopnia włącznie
Dla równań stopnia wielomianowych stopnia większego niż cztery
trzeba by było z jakichś metod numerycznych skorzystać
Wiesz coś o wielomianach symetrycznych ?
W skrócie wielomian jest symetryczny jeśli dowolna permutacja zmiennych nie zmienia wielomianu
Jeśli wiesz coś o wielomianach symetrycznych
to możemy spróbować uogólnić powyższy sposób na równania czwartego stopnia