równanie z parametrem

[ann_u]

Znajdź największą liczbę całkowitą p mniejszą niż 1000 dla której istnieje naturalne q takie
że \(\displaystyle{ x^3-px^2+qx-p^2+4q-4=0}\) ma trzy rozwiązania będące liczbami naturalnymi.

[kerajs]

Możliwe rozwiązania dla pierwiastków naturalnych oraz \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=p \wedge p<1000}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{cccc}
x_1 & x_2 & x_3 & p\\
\hline
1 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 4 & 13 & 18 \\
1 & 13 & 37 & 51 \\
1 & 37 & 100 & 138 \\
1 & 100 & 265 & 366 \\
1 & 265 & 697 & 963 \\
4 & 13 & 85 & 102 \\
4 & 85 & 505 & 594 \\
13 & 37 & 580 & 630
\end{array}}\)

Największe \(\displaystyle{ p}\) spełniające warunki zadania to \(\displaystyle{ 963}\).