Funkcja z parametrem, ekstremum lokalne

[chmarc]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których funkcja \(\displaystyle{ g(x)=2x^{3}-3x^{2}+mx+3}\) ma ekstremum lokalne równe 10.

Z pochodnej i z tego, że dla pochodnej \(\displaystyle{ \Delta>0}\) wychodzi, że \(\displaystyle{ m< \frac{3}{2}}\). I co dalej...?

Z góry dzięki za pomoc

[janusz47]

Podstawiamy \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{6 - \sqrt{6(6-4m)}}{12}}\) do równania

\(\displaystyle{ g(x) - 10 = 0.}\)

Obliczenia nie są przyjemne. Można skorzystać z programu komputerowego.

[albanczyk123456]

janusz47, W jakim celu tak utrudniać?
rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ g(x)=10 \\ \ g'(x)=0 \end{cases}}\)
Wyznaczając z drugiego m i wstawiając do pierwszego.

[janusz47]

Masz rację Twoja metoda jest prostsza.

[Dilectus]

albanczyk123456, zerowanie pierwszej pochodnej nie wystarczy, musi ona wokół tego zera zmieniać znak.

[albanczyk123456]

Dilectus,
Czy funkcja kwadratowa mająca dwa miejsca zerowe wokół któregoś z nich nie zmienia znaku? Mógłbyś podać kontrprzykład? Według mnie autor tematu zadbał już o to.

[Dilectus]

Skąd wiesz, że ma dwa miejsca zerowe? Przecież to trójmian z parametrem. Trzeba dopiero założyć, że ma dwa miejsca zerowe i odpowiednio dobrać parametr, żeby delta była większa od zera.

\(\displaystyle{ 6x^2-6x+m=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta= 36-24m>0 \ \Rightarrow \ m< \frac{3}{2}}\)

[albanczyk123456]

Autor tematu sprawdził to już. Napisał to w swoim poście, proponuję go jeszcze raz przeczytać uważnie.