Równanie wielomianowe z parametrem

[Virps]

Dobry wieczór,

proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania:
Dany jest wielomian

\(\displaystyle{ W(x)=(mx+1)[(m+2) x^{2} +4x+m-1],}\)

gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest parametrem i \(\displaystyle{ m \in \RR \setminus \left\{ -2,0\right\}}\)

Wyznacz \(\displaystyle{ m}\) tak aby wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) miał trzykrotny pierwiastek. Jaki to pierwiastek?

Proszę o wskazówki, podpowiedzi cokolwiek.

Pozdrawiam

[Premislav]

\(\displaystyle{ (m+2)x^2+4x+m-1}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 2}\) (patrz założenia: \(\displaystyle{ m\neq -2}\)), zatem ma co najwyżej dwa pierwiastki (licząc z krotnościami). Stąd aby Twój wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) miał pierwiastek potrójny, musiałby on [ten pierwiastek] być równy rozwiązaniu równania \(\displaystyle{ mx+1=0}\), zatem musi być równy \(\displaystyle{ -\frac 1 m}\) (oczywiście \(\displaystyle{ m\neq 0}\)).
Dalej możesz zażądać, by \(\displaystyle{ (m+2)x^2+4x+m-1=(m+2)\left( x+\frac 1 m\right)^2}\)
(patrz postać kanoniczna funkcji kwadratowej).
Przyrównujesz współczynniki przy odpowiednich potęgach i z tego już raczej wyjdzie.

[Dilectus]

Wielomian jest trzeciego stopnia, wobec tego może mieć trzy pierwiastki. Twój wielomian jest iloczynem wielomianu stopnia pierwszego przez trójmian kwadratowy.
Żeby więc wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) miał trzy pierwiastki, trzeba, żeby trójmian miał dwa pierwiastki. Stąd wymyśł warunek dotyczący delty (w zależności od parametru \(\displaystyle{ m \in R \setminus \left\{ -2,0\right\}}\) ).
Czynnik liniowy - policz, kiedy się zeruje.

P.S. Ile pierwiastków może mieć wielomian trzeciego stopnia?