Rozłożyć wyrażenie na iloczyn czynników kwadratowych:
\(\displaystyle{ x^4-2x^3-2x^2+9}\)
Jakieś pomysły? Czy jest na to jakiś uniwersalny sposób?
Rozkład na czynniki
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozkład na czynniki
Wzory Ferrariego, ale rzadko jest to najszybsza metoda.
Zapisując \(\displaystyle{ x^4-2x^3-2x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\), wymnażając i przyrównując współczynniki, masz układ czterech równań z czterema niewiadomymi.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=-2 \\b+d+ac=-2 \\ ad+bc=0\\bd=9 \end{cases}}\)
Problem w tym, że jego rozwiązanie nie jest zazwyczaj (w tym i tutaj) proste.
Czasem można zgadnąć jakiś pierwiastek i dalej idzie.
A z jakiego poziomu jest to zadanie i w jakim kontekście się pojawiło? I czy na pewno dobrze je przepisałeś? Nie wygląda to zachęcająco, a gdyby było na końcu \(\displaystyle{ -9}\) zamiast \(\displaystyle{ +9}\), to byłoby bardzo łatwe zadanie.
Zapisując \(\displaystyle{ x^4-2x^3-2x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\), wymnażając i przyrównując współczynniki, masz układ czterech równań z czterema niewiadomymi.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=-2 \\b+d+ac=-2 \\ ad+bc=0\\bd=9 \end{cases}}\)
Problem w tym, że jego rozwiązanie nie jest zazwyczaj (w tym i tutaj) proste.
Czasem można zgadnąć jakiś pierwiastek i dalej idzie.
A z jakiego poziomu jest to zadanie i w jakim kontekście się pojawiło? I czy na pewno dobrze je przepisałeś? Nie wygląda to zachęcająco, a gdyby było na końcu \(\displaystyle{ -9}\) zamiast \(\displaystyle{ +9}\), to byłoby bardzo łatwe zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Rozkład na czynniki
To równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc obawy Premislava są słuszne...
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Rozkład na czynniki
Aaa, teraz to zupełnie co innego...
Zobacz, który z podzielników wyrazu wolnego tego wielomianu jest jego pierwiastkiem i rozłóż ten wielomian.
Zobacz, który z podzielników wyrazu wolnego tego wielomianu jest jego pierwiastkiem i rozłóż ten wielomian.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Rozkład na czynniki
Przemysław ale to nie jest metoda Ferrariego
Podobno jest to pomysł Descartesa przy czym usunięcie wyrazu z \(\displaystyle{ x^3}\)
znacznie uprości rozwiązywanie tego układu równań
Wprowadzasz też ludzi w błąd twierdząc że metoda Ferrariego
nie jest szybsza od tej co proponujesz
Trochę równań metodą Ferrariego rozwiązałem i wiem że jednak jest trochę szybsza
Dwukrotne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
i jednokrotne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
jest szybsze niż podstawienie rugujące wyraz z \(\displaystyle{ x^3}\)
czy też kilkukrotne zastosowanie schematu Hornera
Podobno jest to pomysł Descartesa przy czym usunięcie wyrazu z \(\displaystyle{ x^3}\)
znacznie uprości rozwiązywanie tego układu równań
Wprowadzasz też ludzi w błąd twierdząc że metoda Ferrariego
nie jest szybsza od tej co proponujesz
Trochę równań metodą Ferrariego rozwiązałem i wiem że jednak jest trochę szybsza
Dwukrotne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
i jednokrotne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
jest szybsze niż podstawienie rugujące wyraz z \(\displaystyle{ x^3}\)
czy też kilkukrotne zastosowanie schematu Hornera
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Rozkład na czynniki
Przemysław, metoda którą zaproponowałeś wymaga na ogół więcej obliczeń niż metoda Ferrariego
\(\displaystyle{ x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\left( x^{2}+px+q\right)\left( x^{2}+rx+s\right)\\
x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=x^{4}+rx^{3}+sx^{2}+px^{3}+prx^{2}+psx+qx^{2}+qrx+qs\\
x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=x^{4}+\left( p+r\right)x^{3}+\left( q+s+pr\right)x^{2} +\left( qr+ps\right)x+qs\\
\begin{cases} p+r = a_{3} \\q+s+pr=a_{2}\\ qr+ps=a_{1}\\qs=a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} r = a_{3}-p \\q+s= a_{2}-p\left( a_{3}-p\right) \\\left(a_{3}-p \right) q+ps=a_{1}\\qs=a_{0}\end{cases} \\
r=a_{3}-p\\
\begin{bmatrix} q \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ a_{3}-p &p \end{bmatrix} ^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_{2}-p\left( a_{3}-p\right) \\ a_{1}\end{bmatrix} \\
qs=a_{0}\\
}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&0 \\ a_{3}-p &p&0&1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} \\ 1&1&1&0\\0&-a_{3}+2p &-a_{3}+p&1\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \\ -a_{3}+2p&-a_{3}+2p&-a_{3}+2p&0\\0&-a_{3}+2p &-a_{3}+p&1\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \\ -a_{3}+2p&0&p&-1\\0&-a_{3}+2p &-a_{3}+p&1\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} q \\ s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{p}{2p-a_{3}}&-\frac{1}{2p-a_{3}} \\ \frac{p-a_{3}}{2p-a_{3}}&\frac{1}{2p-a_{3}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_{2}-a_{3}p+p^{2} \\ a_{1} \end{bmatrix} \\
\begin{cases} r=a_{3}-p\\q= \frac{1}{2p-a_{3}}\left( p^3-a_{3}p^{2}+a_{2}p-a_{1}\right)\\
s= \frac{1}{2p-a_{3}}\left( \left( p-a_{3}\right)\left( p^{2}-a_{3}p+a_{2}\right)+a_{1} \right) \\
\end{cases} \\
\begin{cases} r=a_{3}-p \\ q= \frac{p^{3}-a_{3}p^{2}+a_{2}p-a_{1}}{2p-a_{3}}\\s= \frac{p^{3}-2a_{3}p^{2}+\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)p+ a_{1}-a_{3}a_{2}
}{2p-a_{3}} \end{cases}
}\)
Równanie rozwiązujące to
\(\displaystyle{ \frac{\left(p^{3}-a_{3}p^{2}+a_{2}p-a_{1} \right)\left( p^{3}-2a_{3}p^{2}+\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)p+ a_{1}-a_{3}a_{2}\right) }{\left( 2p-a_{3}\right)^2 }=a_{0}\\
\left(p^{3}-a_{3}p^{2}+a_{2}p-a_{1} \right)\left( p^{3}-2a_{3}p^{2}+\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)p+ a_{1}-a_{3}a_{2}\right)-a_{0}\left( 2p-a_{3}\right)^{2}=0\\
2p-a_{3}=z\\
2p=z+a_{3}\\
p=\frac{z+a_{3}}{2}\\
\left( \frac{\left( z+a_{3}\right)^{3}-2a_{3}\left( z+a_{3}\right)^{2}+4a_{2}\left( z+a_{3}\right) -8a_{1} }{8} \right)\left( \frac{\left( z+a_{3}\right)^3-4a_{3}\left( z+a_{3}\right)^2+4\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)\left( z+a_{3}\right) +8\left(a_{1}-a_{3}a_{2} \right) }{8}\right)-a_{0}z^{2}=0\\
\left(\left( z+a_{3}\right)^{3}-2a_{3}\left( z+a_{3}\right)^{2}+4a_{2}\left( z+a_{3}\right) -8a_{1} \right) \left(\left( z+a_{3}\right)^3-4a_{3}\left( z+a_{3}\right)^2+4\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)\left( z+a_{3}\right) +8\left(a_{1}-a_{3}a_{2} \right) \right)-64a_{0}z^{2}=0\\
}\)
Gdy wymnożymy nawiasy to dostaniemy równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ z^{2}}\)
Więc chyba lepiej najpierw sprowadzić wielomian do różnicy kwadratów
\(\displaystyle{ x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\left( x^{2}+px+q\right)\left( x^{2}+rx+s\right)\\
x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=x^{4}+rx^{3}+sx^{2}+px^{3}+prx^{2}+psx+qx^{2}+qrx+qs\\
x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=x^{4}+\left( p+r\right)x^{3}+\left( q+s+pr\right)x^{2} +\left( qr+ps\right)x+qs\\
\begin{cases} p+r = a_{3} \\q+s+pr=a_{2}\\ qr+ps=a_{1}\\qs=a_{0} \end{cases} \\
\begin{cases} r = a_{3}-p \\q+s= a_{2}-p\left( a_{3}-p\right) \\\left(a_{3}-p \right) q+ps=a_{1}\\qs=a_{0}\end{cases} \\
r=a_{3}-p\\
\begin{bmatrix} q \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ a_{3}-p &p \end{bmatrix} ^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_{2}-p\left( a_{3}-p\right) \\ a_{1}\end{bmatrix} \\
qs=a_{0}\\
}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&0 \\ a_{3}-p &p&0&1 \end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} \\ 1&1&1&0\\0&-a_{3}+2p &-a_{3}+p&1\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \\ -a_{3}+2p&-a_{3}+2p&-a_{3}+2p&0\\0&-a_{3}+2p &-a_{3}+p&1\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} \\ -a_{3}+2p&0&p&-1\\0&-a_{3}+2p &-a_{3}+p&1\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} q \\ s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{p}{2p-a_{3}}&-\frac{1}{2p-a_{3}} \\ \frac{p-a_{3}}{2p-a_{3}}&\frac{1}{2p-a_{3}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_{2}-a_{3}p+p^{2} \\ a_{1} \end{bmatrix} \\
\begin{cases} r=a_{3}-p\\q= \frac{1}{2p-a_{3}}\left( p^3-a_{3}p^{2}+a_{2}p-a_{1}\right)\\
s= \frac{1}{2p-a_{3}}\left( \left( p-a_{3}\right)\left( p^{2}-a_{3}p+a_{2}\right)+a_{1} \right) \\
\end{cases} \\
\begin{cases} r=a_{3}-p \\ q= \frac{p^{3}-a_{3}p^{2}+a_{2}p-a_{1}}{2p-a_{3}}\\s= \frac{p^{3}-2a_{3}p^{2}+\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)p+ a_{1}-a_{3}a_{2}
}{2p-a_{3}} \end{cases}
}\)
Równanie rozwiązujące to
\(\displaystyle{ \frac{\left(p^{3}-a_{3}p^{2}+a_{2}p-a_{1} \right)\left( p^{3}-2a_{3}p^{2}+\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)p+ a_{1}-a_{3}a_{2}\right) }{\left( 2p-a_{3}\right)^2 }=a_{0}\\
\left(p^{3}-a_{3}p^{2}+a_{2}p-a_{1} \right)\left( p^{3}-2a_{3}p^{2}+\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)p+ a_{1}-a_{3}a_{2}\right)-a_{0}\left( 2p-a_{3}\right)^{2}=0\\
2p-a_{3}=z\\
2p=z+a_{3}\\
p=\frac{z+a_{3}}{2}\\
\left( \frac{\left( z+a_{3}\right)^{3}-2a_{3}\left( z+a_{3}\right)^{2}+4a_{2}\left( z+a_{3}\right) -8a_{1} }{8} \right)\left( \frac{\left( z+a_{3}\right)^3-4a_{3}\left( z+a_{3}\right)^2+4\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)\left( z+a_{3}\right) +8\left(a_{1}-a_{3}a_{2} \right) }{8}\right)-a_{0}z^{2}=0\\
\left(\left( z+a_{3}\right)^{3}-2a_{3}\left( z+a_{3}\right)^{2}+4a_{2}\left( z+a_{3}\right) -8a_{1} \right) \left(\left( z+a_{3}\right)^3-4a_{3}\left( z+a_{3}\right)^2+4\left(a_{2} +a_{3}^{2}\right)\left( z+a_{3}\right) +8\left(a_{1}-a_{3}a_{2} \right) \right)-64a_{0}z^{2}=0\\
}\)
Gdy wymnożymy nawiasy to dostaniemy równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ z^{2}}\)
Więc chyba lepiej najpierw sprowadzić wielomian do różnicy kwadratów