Rozkład na czynniki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 156 razy

Rozkład na czynniki

Post autor: 41421356 » 15 mar 2019, o 01:00

Rozłożyć wyrażenie na iloczyn czynników kwadratowych:

\(\displaystyle{ x^4-2x^3-2x^2+9}\)

Jakieś pomysły? Czy jest na to jakiś uniwersalny sposób?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14521
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: Rozkład na czynniki

Post autor: Premislav » 15 mar 2019, o 01:22

Wzory Ferrariego, ale rzadko jest to najszybsza metoda.

Zapisując \(\displaystyle{ x^4-2x^3-2x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\), wymnażając i przyrównując współczynniki, masz układ czterech równań z czterema niewiadomymi.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=-2 \\b+d+ac=-2 \\ ad+bc=0\\bd=9 \end{cases}}\)
Problem w tym, że jego rozwiązanie nie jest zazwyczaj (w tym i tutaj) proste.

Czasem można zgadnąć jakiś pierwiastek i dalej idzie.

A z jakiego poziomu jest to zadanie i w jakim kontekście się pojawiło? I czy na pewno dobrze je przepisałeś? Nie wygląda to zachęcająco, a gdyby było na końcu \(\displaystyle{ -9}\) zamiast \(\displaystyle{ +9}\), to byłoby bardzo łatwe zadanie.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2522
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 355 razy

Re: Rozkład na czynniki

Post autor: Dilectus » 15 mar 2019, o 10:22

To równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc obawy Premislava są słuszne...

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 156 razy

Rozkład na czynniki

Post autor: 41421356 » 15 mar 2019, o 20:49

Faktycznie tam znak przy ostatnim wyrazie powinien być inny. Dziękuję za wyjaśnienie, dużo w tej kwestii zrozumiałem.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2522
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 355 razy

Re: Rozkład na czynniki

Post autor: Dilectus » 15 mar 2019, o 21:16

Aaa, teraz to zupełnie co innego...
Zobacz, który z podzielników wyrazu wolnego tego wielomianu jest jego pierwiastkiem i rozłóż ten wielomian.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6712
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1216 razy

Re: Rozkład na czynniki

Post autor: mariuszm » 12 gru 2019, o 04:31

Przemysław ale to nie jest metoda Ferrariego
Podobno jest to pomysł Descartesa przy czym usunięcie wyrazu z \(\displaystyle{ x^3}\)
znacznie uprości rozwiązywanie tego układu równań

Wprowadzasz też ludzi w błąd twierdząc że metoda Ferrariego
nie jest szybsza od tej co proponujesz
Trochę równań metodą Ferrariego rozwiązałem i wiem że jednak jest trochę szybsza

Dwukrotne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
i jednokrotne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
jest szybsze niż podstawienie rugujące wyraz z \(\displaystyle{ x^3}\)
czy też kilkukrotne zastosowanie schematu Hornera

ODPOWIEDZ