Wszystkie współczynniki wielomianu

[Michal2115]

Wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} -3x ^{2} +ax+b}\) są l. całkowitymi. Znajdź współczynniki a i b wiedząc, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x - \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ W( \sqrt{5} )=0}\)

\(\displaystyle{ 5 \sqrt{5} -15+ \sqrt{5} a+b=0}\)

No i można zrobić to tak, że rozpiszemy sobie

\(\displaystyle{ a \sqrt{5} +b=-5 \sqrt{5} +15}\)
i wyjdzie a=-5 b=15, co jest poprawną odpowiedzią, ale czy jest inny sposób rozwiązania tego zadania gdyby podane cyfry się tak nie "rozłożyły"?

[kmarciniak1]

Gdybyśmy dzielili przez jakiś dwumian z wyrazem wolnym o wartości całkowitej, to wtedy nie wystarczyłoby nam to do znalezienia współczynników \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).Musiałaby być jeszcze jakaś dodatkowa informacja.A więc w tym konkretnym zadaniu trzeba skorzystać z tego co ty zrobiłeś.

[Michal2115]

Oki, dzięki!

[kerajs]

Inaczej:
Skoro współczynniki są całkowite, a jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), to drugim będzie \(\displaystyle{ -\sqrt{5}}\).
Z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W( \sqrt{5} )=0 \\ W( -\sqrt{5} )=0 \end{cases}}\)
dostaniesz
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=15 \\ a=-5 \end{cases}}\)