reszta z dzielenia

[Marus0]

Czy reszta z dzielenia wielomianu może mieć wzór funkcji liniowej \(\displaystyle{ ax + b}\)?

[a4karo]

A przez co dzielisz?

[Marus0]

Dzielę przez wielomian, ale czy reszta musi być wielomianem zerowym?

[a4karo]

Nie. Reszta jest wielomianem stopnia mniejszego niż dzielnik.

[Marus0]

Dzieląc \(\displaystyle{ (x ^{3} - 2x ^{2} + px - q) : (x ^{2} - 2x + 1)}\) wychodzi reszta \(\displaystyle{ (p-1)x - q}\). Mam informację że ta reszta jest wielomianem zerowym. Zastanawia mnie, czy to wynika bezpośrednio z tego dzielenia, czy też inne warunki w zadaniu o tym decydują.

[a4karo]

To może napiszesz całe zadanie, bo z tych fragmentów trudno cokolwiek wywnioskować

[Jan Kraszewski]

Może podaj całą treść zadania, to będziemy wiedzieli, o co chodzi. Zapewne podana informacja o reszcie jest założeniem, które należy wykorzystać.

JK

[Marus0]

Dla jakich wartości p i q liczba \(\displaystyle{ x _{0} = 1}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x ^{3} - 2x ^{2} + px - q}\)?

[a4karo]

Tak trzeba było od początku:

Iloraz jest taki jak policzyłeś niezależnie od dodatkowych warunków. Wiesz, że jeżeli jedynka jest dwukrotnym pierwiastkiem, to reszta jest zerowym wielomianem, więc łatwo obliczysz \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\).

Można było też inaczej: Wstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) do wielomianu i do jego pochodnej.

[Marus0]

Wiesz, że jeżeli jedynka jest dwukrotnym pierwiastkiem, to reszta jest zerowym wielomianem, więc łatwo obliczysz \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\).

Wiem, ale nie wiem dlaczego. Reszta w postaci \(\displaystyle{ (p-1)x - q}\) przecież nie jest wielomianem zerowym.

[a4karo]

To spróuj sobie udowodnić taki fakt: Jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to \(\displaystyle{ W}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x-a}\) bez reszty.

Potem z tego wyciągnij wniosek, że jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest podwójnym pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ W}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-a)^2}\) bez reszty.

[Jan Kraszewski]

Reszta w postaci \(\displaystyle{ (p-1)x - q}\) przecież nie jest wielomianem zerowym.

A dlaczego?

JK

[Marus0]

Dziękuję, zmyliła mnie informacja, że to wielomian zerowy, a to jest po prostu reszta rowna zero. Przecież wielomianem zerowym może być każda liczba rzeczywista (?). Teraz wszystko rozumiem, dziękuję.

[a4karo]

Mylisz wielomian zerowy z wielomianem stopnia zero. To dwie różne rzeczy

[Marus0]

No to teraz już wszystko jasne