pierwiastki wielomianu szóstego stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

pierwiastki wielomianu szóstego stopnia

Post autor: Bratower »

1. Uzasadnij, że wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^6+2x^5+3x^4+4x^3+5x^2+6x-7}\) leża w przedziale \(\displaystyle{ \left(-2;1\right)}\).
2. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x\ge5}\), to \(\displaystyle{ x^3-3x^2-6x-15>0}\)
Proszę o jakieś wskazówki
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: pierwiastki wielomianu szóstego stopnia

Post autor: Premislav »

1. Zauważ, że
\(\displaystyle{ x^6+2x^5+3x^4+4x^3+5x^2+6x-7=x^4(x+1)^2+2x^2(x+1)^2+3x^2+6x-7}\)
i ten ostatni trójmian rozpisz na dwa sposoby: raz \(\displaystyle{ (2x^2)+(x^2+6x-7)}\), a drugi raz
\(\displaystyle{ 3(x+1)^2-10}\) i odnotuj, że dla \(\displaystyle{ x\le -2}\) jest
\(\displaystyle{ (x+1)^2\ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ x^4+2x^2+3\ge \text{ coś tam dużego }}\).
Coś tam dużego na pewno przekracza \(\displaystyle{ 10}\).

2. Zauważ, że
\(\displaystyle{ x^3-3x^2-6x-{\red 20}=(x-5)(x^2+2x+4)=(x-5)((x+1)^2+3)}\)
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: pierwiastki wielomianu szóstego stopnia

Post autor: Dilectus »

2. Pokaż, że ten wielomian jest rosnący dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i że \(\displaystyle{ W(5)>0}\)

-- 28 gru 2018, o 16:58 --

1. Pokaż, że \(\displaystyle{ W(x)}\) ma tylko jedno ekstremum - minimum, mniejsze od zera. Łatwo je znaleźć - wypada dla \(\displaystyle{ x_{\min }=-1}\) Zatem jest on malejący dla \(\displaystyle{ x<-1}\) i rosnący dla \(\displaystyle{ x>-1}\).
Teraz pokaż, że \(\displaystyle{ W(-2)>0}\) i \(\displaystyle{ W(1)>0}\). Wniosek - istnieją tylko dwa pierwiastki rzeczywiste tego wielomianu i zawierają się w przedziale \(\displaystyle{ (-2, 1)}\)

Ostatnio zmieniony 30 gru 2018, o 23:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ