Suma kwadratow wielomianów

[Papabile]

Hejka, mam takie zadanko.
Niech \(\displaystyle{ f(x)}\) bedzie wielomianem unormowanym o współczynnikach rzeczywistych, takim, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)>0}\). Wykazać że istnieja takie wielomiany \(\displaystyle{ h(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) że zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=(h(x))^{2} +(g(x))^{2}}\) i tu nawet nie rozumiem jak miałyby nie istnieć? Bo to chyba oczywiste że istnieja ale jak to pokazać formalnie?

[Premislav]

Proponuję indukcję ze względu na stopień wielomianu, moje rozwiązanie piękne nie będzie (szkoda, że nie mogę ukraść nicka userowi uglysolutions z AoPS, tylko że on w przeciwieństwie do mnie miał jakieś sukcesy…)
\(\displaystyle{ f(x)}\) musi być wielomianem stopnia parzystego, dajmy na to \(\displaystyle{ 2n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ z}\) jest pierwiastkiem zespolonym wielomianu \(\displaystyle{ f(x)}\) o współczynnikach rzeczywistych, to \(\displaystyle{ \overline z}\) też nim jest (znane), co więcej, jego krotność jest taka sama, jak krotność \(\displaystyle{ z}\) (jak nie znasz tych faktów, to treningowo je sobie udowodnij).
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Baza indukcji jest prościutka: wielomian
\(\displaystyle{ x^2+ax+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a^2-4b<0}\) można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \left( x+\frac a 2\right)^2+\left(\sqrt{b-\frac{a^2}{4}} \right)^2}\),
wielomian stały to bardzo ładny wielomian, więc uzyskaliśmy wymaganą postać.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\)
Przypuśćmy, że rozkład na sumę kwadratów wielomianów istnieje dla dowolnego ściśle dodatniego wielomianu unormowanego zmiennej rzeczywistej stopnia \(\displaystyle{ 2n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\).
Niech więc \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie wielomianem unormowanym stopnia \(\displaystyle{ 2n+2}\), który ma \(\displaystyle{ 2k}\) (\(\displaystyle{ k\le n+1}\) oczywiście) pierwiastków zespolonych nierzeczywistych (i nie ma rzeczywistych), możemy je dobrać w pary \(\displaystyle{ z_j, \ \overline z_j}\) i zapisać
\(\displaystyle{ f(x)= \prod_{j=1}^{k}\left[(x-z_j)(x-\overline{z_j}) \right]^{\alpha_j}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_j}\) to wspólna krotność \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ \overline z}\) jako pierwiastków \(\displaystyle{ f.}\), oczywiście (zasadnicze tw. algebry z grubsza o tym mówi),
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{k} \alpha_j=n+1}\)
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ j_0\in\left\{1, \ldots k \right\}}\),
wówczas
\(\displaystyle{ (x-z_{j_0})(x-\overline{z_{j_0}})}\)
jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 2}\), który z własności sprzężenia i ze wzoru na różnicę kwadratów możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ (x-\mathrm{Re}(z_{j_0}))^2+(\mathrm{Im}(z_{j_0}))^2}\)
Natomiast
\(\displaystyle{ (x-z_{j_0})^{\alpha_{j_{0}}-1}(x-\overline{z_{j_0}})^{\alpha_{{j_0}}-1} \prod_{j\neq j_0}^{}(x-z_j)^{\alpha_j}(x-\overline{z_j})^{\alpha_j}}\)
jest wielomianem unormowanym stopnia \(\displaystyle{ 2n}\) bez pierwiastków rzeczywistych (jednoznaczność rozkładu), czyli z założenia indukcyjnego zapisuje się w formie
\(\displaystyle{ (g(x))^2+(h(x))^2}\) dla pewnych wielomianów \(\displaystyle{ g, \ h}\) o współczynnikach rzeczywistych.
Tak się zaś składa, że:
\(\displaystyle{ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2}\)
Zastosuj dla:
\(\displaystyle{ a=x-\mathrm{Re}(z_{j_0}), \ b=\mathrm{\Im}(z_{j_0}), \ c=g(x), \ d=h(x)}\)
i krok indukcyjny skończony.
Na mocy zasady indukcji matematycznej teza została udowodniona, a polski papież chronił pedofilów.

Niestety mój żałosny potencjał intelektualny nie pozwala mi znaleźć ładniejszego rozwiązania. Poza tym mam problem z rozwlekłością opisów, moim zdaniem nawet jakieś skrajnie brzydkie to nie jest, ale bardzo rozwleczone.-- 21 gru 2018, o 10:40 --Dodam, że tak naprawdę jedyne, co tu jest istotne, to że
gdy \(\displaystyle{ f(x)}\) jest ściśle dodatnim wielomianem unormowanym stopnia \(\displaystyle{ 2n+2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), to istnieje wielomian unormowany \(\displaystyle{ w(x)}\) stopnia drugiego o ujemnym wyróżniku i wielomian unormowany ściśle dodatni \(\displaystyle{ v(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ 2n}\) spełniające \(\displaystyle{ f(x)=w(x)v(x)}\), a potem założenie indukcyjne, załatwienie tego trójmianu \(\displaystyle{ w(x)}\) jak w bazie indukcji i tożsamość \(\displaystyle{ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2}\).
Być może da się uniknąć liczb zespolonych, ale to nie było moim priorytetem.

[PoweredDragon]

Być może da się uniknąć liczb zespolonych, ale to nie było moim priorytetem.

W zasadzie to... właśnie to zrobiłeś. Trójmian daje się rozłożyć na sumę kwadratów, zasadnicze tw. algebry mówi, że każdy wielomian daje się rozłożyć nad R na czynniki stopnia conajwyżej drugiego i łatwo uzasadnić, że w tym zadaniu wszystkie czynniki muszą być stopnia drugiego, więc lecą kolejno iloczyny sum kwadratów :V