Podzielność wielomianów

[Pietras2001]

Udowodnij, że wielomian
\(\displaystyle{ W\left( x\right) = x ^{2015} + x-1}\)

jest podzielny przez wielomian
\(\displaystyle{ G\left( x\right) = x ^{2} - x+1}\)

[Siemorod]

Udowodnij, że wielomian
\(\displaystyle{ W\left( x\right) = x ^{2015} + x-1}\)

jest podzielny przez wielomian
\(\displaystyle{ G\left( x\right) = x ^{2} - x+1}\)

Hasło: Tw. Bézouta
Zobacz, jakie pierwiastki ma wielomian \(\displaystyle{ G(x)}\) i pokaż, że są one pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)

[Pietras2001]

Niestety \(\displaystyle{ G(x)}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

[Premislav]

Za to ma pierwiastki zespolone. Ja bym do tego podszedł tak: pierwiastki zespolone 3. stopnia z \(\displaystyle{ -1}\) różne od \(\displaystyle{ -1}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^2-x+1=0}\) (bo \(\displaystyle{ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)}\)), a są one postaci
\(\displaystyle{ \cos \varphi+i\sin \varphi}\) dla \(\displaystyle{ \varphi\in \left\{ -\frac {\pi}{3}; \frac \pi 3 \right\}}\), no i dalej ze wzoru de Moivre'a łatwo to skończyć.

-- 1 gru 2018, o 21:03 --

Chociaż jeśli ktoś chce się obejść bez liczb zespolonych, to też się da:
zauważmy, że
\(\displaystyle{ x ^{2015} + x-1= \sum_{k=0}^{2015}(-1)^{k+1}x^k}\)
i pogrupujmy po trzy kolejne wyrazy postaci
\(\displaystyle{ (-1)^{k+1}x^k+(-1)^{k+2}x^{k+1}+(-1)^{k+3}x^{k+2}=(-1)^{k+1}x^k(x^2-x+1)}\)
(oczywiście wyrazów jest \(\displaystyle{ 2016=3\cdot 672}\), więc można je tak pogrupować).

[Pietras2001]

Dlaczego ten wzór jest prawdziwy?
\(\displaystyle{ x ^{2015} + x-1= \sum_{k=0}^{2015}(-1)^{k+1}x^k}\)

[Premislav]

Sorry, pomyliłem się. Zachodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ x ^{2015} + x-1= \sum_{k=0}^{2013}\left( (-1)^{k+1}x^k+(-1)^{k+2}x^{k+1}+(-1)^{k+3}x^{k+2}\right)}\)
Po prostu dużo rzeczy się skraca, jak rozpiszesz, a każdy taki składnik jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2-x+1}\).-- 1 gru 2018, o 21:19 --Przyjaźniejsza forma:
\(\displaystyle{ x^{2015}+x-1=(x^2-x+1) \sum_{k=0}^{2013}(-1)^{k+1}x^k}\)

[Pietras2001]

Na pewno ten wzór jest prawidłowy?
\(\displaystyle{ x ^{2015} + x-1= \sum_{k=0}^{2013}\left( (-1)^{k+1}x^k+(-1)^{k+2}x^{k+1}+(-1)^{k+3}x^{k+2}\right)}\)
Rozpisując tę sumę dla \(\displaystyle{ k=0}\) i \(\displaystyle{ k=1}\) dostajemy \(\displaystyle{ 2x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\).

[Premislav]

Ajj, klęska, sorry, coś mi się pokremówkowało. W takim razie zostaje rozwiązanie korzystające z liczb zespolonych.

[Pietras2001]

Nie znam się zbyt dobrze na liczbach zespolonych. Mógłbyś trochę więcej napisać o tym sposobie?

[Premislav]

Ponieważ \(\displaystyle{ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)}\), to pierwiastkami wielomianu
\(\displaystyle{ G(x)= x ^{2} - x+1}\) są pierwiastki zespolone stopnia \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ -1}\) różne od samego \(\displaystyle{ -1}\). Mają one postać
\(\displaystyle{ \cos\left( -\frac \pi 3\right) +i\sin\left( -\frac \pi 3\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac \pi 3\right) +i\sin\left( \frac \pi 3\right)}\)
(patrz:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikibooks.org/wiki/Liczby_zespolone/Posta%C4%87_trygonometryczna

).
Ze wzoru de Moivre'a (przydatny wzór: mamy
\(\displaystyle{ \left( \cos\left( -\frac \pi 3\right) +i\sin\left( -\frac \pi 3\right)\right)^{2015}=\\=\cos\left(-\frac{2015\pi}{3} \right) +i\sin\left(-\frac{2015\pi}{3} \right)}\)
a także
\(\displaystyle{ \left( \cos\left(\frac \pi 3\right) +i\sin\left( \frac \pi 3\right)\right)^{2015}=\\=\cos\left(\frac{2015\pi}{3} \right) +i\sin\left( \frac{2015\pi}{3}\right)}\)
Z okresowości funkcji sinus i cosinus dostajemy więc
\(\displaystyle{ \left( \cos\left( -\frac \pi 3\right) +i\sin\left( -\frac \pi 3\right)\right)^{2015}=\cos \left( \frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left( \frac{\pi}{3}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \left( \cos\left(\frac \pi 3\right) +i\sin\left( \frac \pi 3\right)\right)^{2015}=\cos\left( -\frac \pi 3\right) +i\sin\left( -\frac \pi 3\right)}\)
i teraz już łatwo zweryfikować, że
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac \pi 3\right) +i\sin\left( \frac \pi 3\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos\left( -\frac \pi 3\right) +i\sin\left( -\frac \pi 3\right)}\)
są pierwiastkami zespolonymi wielomianu \(\displaystyle{ x^{2015}+x-1}\), i jak wspomniał Siemorod, twierdzenie Bézouta kończy zadanie.

[bosa_Nike]

Dodaj i odejmij \(\displaystyle{ x^2}\), wtedy będziesz miał \(\displaystyle{ W(x)=x^2\left(x^{2013}+1\right)-G(x)}\).
Wystarczy teraz wciągnąć z pierwszego nawiasu \(\displaystyle{ (x+1)}\) i zastosować podejście zaproponowane wcześniej.