Reszta z dzielenia bez wykonywania dzielenia.

[KiedysSieNaucze]

\(\displaystyle{ P(x) = x^{30} +3x^{14}+2 \\
Q(x) = x^{3} - 8}\)

Odpowiedz do zadania: \(\displaystyle{ 3x^{2} +3}\)

Poprosiłbym o jakieś proste wytłumaczenie, najlepiej krok, po kroku.
Starałem się robic to układem równań, lecz nie wychodziło, prawdopodobnie źle policzyłem \(\displaystyle{ Q(x)}\).

[Janusz Tracz]

Jako że wielomian \(\displaystyle{ Q}\) jest stopnia \(\displaystyle{ 3}\) to wiemy że reszta jest co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) zapiszmy więc

\(\displaystyle{ \frac{P}{Q}=V+ \frac{ax^2+bx+c}{Q}}\)

Co daje że postać \(\displaystyle{ P}\)

\(\displaystyle{ P=VQ+ax^2+bx+c}\)

Jeśli teraz wstawisz za \(\displaystyle{ x}\) takie liczby \(\displaystyle{ x_i}\) że \(\displaystyle{ Q(x_i)=0}\) to otrzymasz układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b,c}\). Trzeba zatem znaleźć te liczby \(\displaystyle{ x_i}\) są to zwykłe pierwiastki \(\displaystyle{ Q}\)

\(\displaystyle{ x^{3} - 8=0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-1+ i\sqrt{3} \vee x=-1- i\sqrt{3}}\)

Podstawiając je dostajemy wspomniany układ i koniec. Pewnie można to zrobić prościej bez liczb ale tak też zadziała.

[KiedysSieNaucze]

A jak będą wyglądać pierwiastki z Q, gdy \(\displaystyle{ Q(x)=x^{3}+8}\)?

[Janusz Tracz]

Zmień znaki tylko.

[Dasio11]

Odpowiedz do zadania: \(\displaystyle{ 3x^{2} +3}\)

To nie jest prawidłowa odpowiedź.