wielomian trzeciego stopnia

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 + x^2 + 2x - 1=0}\)
Oblicz wartość \(\displaystyle{ a^3b + b^3c + c^3a}\) .

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 + x^2 + 2x - 1=0}\)
Oblicz wartość \(\displaystyle{ a^3b + b^3c + c^3a}\)

wsk ile to \(\displaystyle{ \frac{a^3b + b^3c + c^3a}{abc}}\) ... ?

[bosa_Nike]

O ile to możliwe, to chętnie poznam źródło tego zadania.

Z danej wskazówki nie potrafię skorzystać. Mam też kilka zastrzeżeń, które mogą, ale nie muszą, wynikać z mojej nieuwagi lub niewiedzy.

Wyrażenie jest cykliczne, a więc w ogólności jego wartość zależy od tego, jak podstawimy dane wartości zmiennych (celowo nie używam tu słowa porządek). To powinno być widoczne z poniższego przedstawienia. Mamy w sumach cyklicznych

\(\displaystyle{ \begin{aligned}2\sum a^3b&=\left(\sum a^3b+\sum ab^3\right)+\left(\sum a^3b-\sum ab^3\right)\\&=\left(\left(\sum a\right)^2-2\sum ab\right)\cdot\sum ab-abc\sum a+(a-b)(a-c)(b-c)\sum a\end{aligned}}\)

Niuans jest w znaku ostatniego składnika, bo reszta jest symetryczna. W szczególności to wyrażenie może dawać jednoznaczny wynik, jeżeli zmienne sumują się do zera (co, jak widać, w naszym przypadku nie ma miejsca) lub gdy pewne dwie ze zmiennych są równe (a Wolfram mówi, że w tym przypadku nie są).

Nie chcę w tej chwili dalej w to brnąć, jeżeli moje rachunki są poprawne, to można uzyskać dwie możliwe wartości (zespolone) badanego wyrażenia.

Dobrze byłoby usłyszeć, co ma do powiedzenia OP.

[Mariusz M]

Skoro nie jest to funkcja symetryczna to można spróbować obliczyć te pierwiastki ?

\(\displaystyle{ x^3 + x^2 + 2x - 1=0\\
\left( x+\frac{1}{3}\right)^3=x^3+x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{27}\\
\frac{5}{3}\left( x+\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{3}x+\frac{15}{27}\\
\left( x+\frac{1}{3}\right)^3+\frac{5}{3}\left( x+\frac{1}{3}\right)-\frac{43}{27}=x^3 + x^2 + 2x - 1\\
y=x+\frac{1}{3}\\
y^3+\frac{5}{3}y-\frac{43}{27}=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3+\frac{5}{3}\left( u+v\right)-\frac{43}{27}=0\\
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2 +\frac{5}{3}\left( u+v\right) -\frac{43}{27}=0\\
u^3+v^3-\frac{43}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv+\frac{5}{9}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3-\frac{43}{27}=0 \\ uv+\frac{5}{9}=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{43}{27} \\ uv=-\frac{5}{9} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{43}{27} \\ u^3v^3=-\frac{125}{729} \end{cases}\\
t^2-\frac{43}{27}t-\frac{125}{729}\\
\left( t-\frac{43}{54}\right)^2-\frac{2349}{2916}\\
\left( t- \frac{43- \sqrt{2349} }{54} \right)\left( t- \frac{43+ \sqrt{2349} }{54} \right)\\
\left(t-\frac{172-4\sqrt{2349}}{216}\right)\left(t-\frac{172-4\sqrt{2349}}{216}\right)\\
u=\frac{1}{6} \sqrt[3]{172-4\sqrt{2349}}\\
v=\frac{1}{6} \sqrt[3]{172+4\sqrt{2349}}\\}\)

Teraz korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedności wybierasz takie
\(\displaystyle{ u}\) oraz \(\displaystyle{ v}\) aby poniższy układ równań był spełniony

Pierwiastki trzeciego stopnia z jedności to \(\displaystyle{ \varepsilon_{k}=e^{2k\pi \cdot i}, \qquad k\in \mathbb{Z}_{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=\frac{43}{27} \\ uv=-\frac{5}{9} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=\frac{43}{27} \\ \left(\varepsilon_{k}u_{0}\right)\left(\eta_{m}v_{0}\right)=-\frac{5}{9} \end{cases}\\}\)

Z dziewięciu możliwych par \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\)
tylko trzy będą spełniały powyższy układ równań

@mol_ksiazkowy co to da ?
Jeżeli mamy funkcję symetryczną to można względnie łatwo przedstawić ją
za pomocą funkcyj symetrycznych podstawowych (tzw elementarnych funkcyj symetrycznych)
a następnie korzystając z wzorów Vieta wyrazić za pomocą współczynników
w innym przypadku chyba trzeba liczyć te pierwiastki

[bosa_Nike]

Można pomyśleć o pewnym zabiegu. Tu mielibyśmy, zapisując dwie równości jako jedną:

\(\displaystyle{ \begin{aligned}2\sum a^3b&=\left(\sum a^3b+\sum ab^3\right)+\left(\sum a^3b-\sum ab^3\right)\\&=\left(\left(\sum a\right)^2-2\sum ab\right)\cdot\sum ab-abc\sum a+(a-b)(a-c)(b-c)\sum a\\&=\left(\left(\sum a\right)^2-2\sum ab\right)\cdot\sum ab-abc\sum a\pm\sqrt{(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2\left(\sum a\right)^2}\end{aligned}}\)

To pod pierwiastkiem jest już symetryczne, więc, przy pewnym wysiłku, wyrażalne przez \(\displaystyle{ \sum a,\sum ab,abc}\).

[Dilectus]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 + x^2 + 2x - 1=0}\)

Ten wielomian ma tylko jeden pierwiastek, bowiem jest to funkcja rosnąca w całej dziedzinie.

[Premislav]

Ten wielomian ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, ale nikt nie twierdził, że jest mowa tylko o rzeczywistych.