Wielomian podzielny przez trójmian

[witia1990]

Wykaż, że jeżeli wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=x^{6}+ax^{4}+bx^{2}+c}\)
jest podzielny przez trójmian
\(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\),
to jest również podzielny przez trójmian
\(\displaystyle{ x^{2}-x+1}\).

Nie mam pomysłu na to zadanie. Będę wdzięczny za jakąś wskazówkę.

[Janusz Tracz]

(zakładam że \(\displaystyle{ a,b,c\in\RR}\))
\(\displaystyle{ W(x)}\) ma wyłącznie zmienne w parzystych potęgach więc jeśli \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem to \(\displaystyle{ -x_0}\) też jest pierwiastkiem ponad to \(\displaystyle{ W(x)}\) ma rzeczywiste współczynnik więc z tw. Cauchego jeśli \(\displaystyle{ x_0\in\CC}\) jest pierwiastkiem to \(\displaystyle{ \bar{x_0}}\) też jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ W(x)}\). Wiemy że \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\) który ma pierwiastki \(\displaystyle{ x_0,\bar{x_0}}\) a podzielność gwarantuje że są to również pierwiastki \(\displaystyle{ W(x)}\). Zauważmy teraz że \(\displaystyle{ -x_0}\) oraz \(\displaystyle{ -\bar{x_0}}\) to pierwiastki \(\displaystyle{ x^{2}-x+1}\) to łatwo sprawdzić, podstawiając je i odwołując się do wcześniejszego. Z tego co pisałem wcześniej \(\displaystyle{ -x_0}\) oraz \(\displaystyle{ -\bar{x_0}}\) są też pierwiastkami \(\displaystyle{ W(x)}\). Co kończy dowód bo jest to równoważne z podzielnością.

[witia1990]

Myślę, że na maturę z matematyki rozszerzoną takie rozwiązanie jest zbyt trudne. Na szczęście wymyśliłem coś prostszego dzięki twojej wskazówce.

\(\displaystyle{ W(x)}\) jest parzysty \(\displaystyle{ \Rightarrow W(x)=W(-x)}\).
\(\displaystyle{ x^2+x+1 | W(x) \Rightarrow W(x)=Q(x)\cdot(x^2+x+1 )}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ W(x)=W(-x)=Q(-x)\cdot(x^2-x+1 )=}\)
A stąd już otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x^2-x+1 | W(x)}\)