Wielomian bez pierwiastków wymiernych

[witia1990]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{3}+x+1}\).
Uzasadnij, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) nie ma pierwiastków wymiernych.

Możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ x= \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z}}\)
Ale jak teraz pokazać, że \(\displaystyle{ W(x)\neq 0}\) ?

[a4karo]

Znasz twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych? (było w średniej szkole)

[Janusz Tracz]

Nie musisz tak tego robić. Możesz skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Mówi ono o tym że jeśli pierwiastki miały by być wymierne to muszą być dzielniki wyrazu wolnego lub wyrazu wolnego z wyrazem przy najwyższej potędze. Tu podejrzane są tylko \(\displaystyle{ \left\{ -1,- \frac{1}{2} , \frac{1}{2} 1\right\}}\). Pokaż że żadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem

[witia1990]

Znam to twierdzenie.
Jakoś nie dociera do mnie to, że jeśli podejrzane liczby \(\displaystyle{ {-1,1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}}\) nie są pierwiastkami wielomianu to na pewno żadna inna liczba wymierna nie może być tym pierwiastkiem. Może mam jakieś zaćmienie, ale może mi ktoś to logicznie wytłumaczyć.

[Janusz Tracz]

No bobrze mówisz. Sprawdzenie podejrzanych liczb wystarcza. Jeśli się okaże że żadna z nich nie jest wymiernym pierwiastkiem to koniec zadania bo udowodniłeś że pierwiastków wymiernych nie ma.