Rozłóż wielomian

[lukasz_xyz]

Muszę rozłożyć na iloczyn wielomianów pierwszych wielomian \(\displaystyle{ x^{4} +4}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\) i \(\displaystyle{ \CC}\)

Rozwiązałem jednakże nie jestem pewien czy dobrze. Czy jest ktoś kto mógłby powiedzieć czy jest okej i ewentualnie nakierować mnie na dobre rozwiązanie?

Nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\)

\(\displaystyle{ x^{4} +4}\)
\(\displaystyle{ = ( x^{2} + 2)^{2} - 4x^{2}}\)
\(\displaystyle{ = (x^{2} + 2)^{2} - (2x)^{2}}\)
\(\displaystyle{ =(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2)}\)


Nad ciałem \(\displaystyle{ \CC}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ x^{4} +4}\)
\(\displaystyle{ = ( x^{2} + 2)^{2} - 2x^{2}}\)

Raczej:
\(\displaystyle{ = ( x^{2} + 2)^{2} - 4x^{2}}\)
więc i reszta do poprawy.

Inaczej
\(\displaystyle{ x^4=-4\\
x= \sqrt[4]{4e ^{i \pi } }}\)
lub
\(\displaystyle{ x= \sqrt[4]{4( \cos \pi +i \sin \pi ) }}\)
Znajdź te pierwiastki, a iloczyn sprzężonych da pierwiastki rzeczywiste.

[lukasz_xyz]

Na początku nie wiedziałem co się w ogóle stało w tym co napisałeś ale teraz chyba załapałem.

\(\displaystyle{ w = x^{4}+4}\)
\(\displaystyle{ x^{4} = -4}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt[4]{-4}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{16} = 4}\)

\(\displaystyle{ \cos\varphi = -1}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi = 0}\)
\(\displaystyle{ \varphi = \pi}\)

I teraz liczyć każdy pierwiastek ze wzoru

\(\displaystyle{ \omega_{k} = \sqrt[n]{|z|} (\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n})}\)
Tak?

A i odnośnie tego błędu na początku przy wzorze skróconego mnożenia to oczywiście zdaję sobie z tego sprawę.

[kerajs]

I teraz liczyć każdy pierwiastek ze wzoru

\(\displaystyle{ \omega_{k} = \sqrt[n]{|z|} (\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n})}\)
Tak?.

Tak.
\(\displaystyle{ x_{k} = \sqrt[n]{|z|} (\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} +i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n})}\)
Wyliczasz \(\displaystyle{ x_0,x_1,x_2,x_3}\)
i masz swój rozkład:
\(\displaystyle{ w(x)=x^4+4=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\)
Pomnożenie nawiasów zawierających pierwiastki sprzężone da rozkład nad R (ten poprawiony, w pierwszym poscie)

Oczywiście, gdyby nie błąd rachunkowy, to wyliczanie pierwiastków zespolonych z trójmianów o ujemnym wyróżniku także byłoby poprawne.

Inaczej:
\(\displaystyle{ x^4+4=(x^2)^2-(2i)^2=(x^2-2i)(x^2+2i)=(x^2-(1+i)^2)(x^2-i^2(1+i)^2)=\\=(x-(1+i))(x+(1+i))(x-i(1+i))(x+i(1+i))=\\=(x-(1+i))(x+(1+i))(x-(i-1))(x+i(i-1))}\)

[lukasz_xyz]

Informacja o pomnożeniu nawiasów zawierających pierwiastki sprzężone jest ciekawa - nie pamiętałem o tym jednakże nasz profesor chciałby rozwiązania nad \(\displaystyle{ \RR}\) w taki sposób jaki mam w pierwszym poście.

Wszystko świetnie wytłumaczone, dziękuje bardzo mam jednak z ciekawości pytanie o ten pierwszy sposób, o którym wspomniałeś w odpowiedzi. Tam był chyba wzór Eulera z tego co kojarzę, jak to można dalej pociągnąć?

[kerajs]

Inaczej
\(\displaystyle{ x^4=-4\\
x= \sqrt[4]{4e ^{i \pi } }}\)
lub
\(\displaystyle{ x= \sqrt[4]{4( \cos \pi +i \sin \pi ) }}\)

Postać wykładnicza jest alternatywna do trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ \left| z\right| \left( cos \alpha +i\sin \alpha \right)= \left| z\right| e ^{i \alpha }}\)
Rozwiązuje się analogicznie:
\(\displaystyle{ x= \sqrt[4]{4e ^{i \pi } }=\sqrt[4]{4} }\sqrt[4]{e ^{i (\pi +k2 \pi) } }= \sqrt{2} e ^{ \frac{i (\pi +k2 \pi )}{4} } = \sqrt{2}e ^{i \left( \frac{ \pi }{4}+k \frac{ \pi }{2} \right) } \\
x_0= \sqrt{2}e ^{i \frac{ \pi }{4}} \\
x_1= \sqrt{2}e ^{i \frac{ 3\pi }{4} } \\
x_2= \sqrt{2}e ^{i \frac{ 5\pi }{4} } \\
x_3= \sqrt{2}e ^{i \frac{ 7\pi }{4} }}\)
Możesz to już potraktować jako wyniki lub przejść na postać trygonometryczną, a z niej na postać ogólną.