Zależność między wielomaniami

[ivni]

Wielomiany \(\displaystyle{ P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+ a_{1}x+a _{0}}\) oraz
\(\displaystyle{ Q(x)=x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+ b_{1}x+b _{0}}\) spełniają zależność
\(\displaystyle{ P^2(x)=(x^2-1)Q^2(x)+1}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ P'(x)=nQ(x)}\).
Proszę o pomoc z tym zadaniem.

[Premislav]

Możesz zajrzeć tutaj:
422613.htm

[Kaf]

Odniosę się do rozwiązania Premislava z tamtego tematu, bo jest trochę przekombinowane: po dojściu do momentu
\(\displaystyle{ P(x)P'(x)=Q(x)\left[ xQ(x)+(x^2-1)Q'(x)\right]}\)
stwierdzamy, że \(\displaystyle{ Q}\) dzieli \(\displaystyle{ PP'}\) (jako elementy \(\displaystyle{ K\left[ x\right]}\)). Skoro \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są względnie pierwsze i \(\displaystyle{ Q}\) dzieli \(\displaystyle{ PP'}\), to \(\displaystyle{ Q}\) dzieli \(\displaystyle{ P'}\) (dla pierścienia wielomianów nad ciałem to zachodzi, w dowolnym pierścieniu niekoniecznie). Widać, że \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ Q}\) mają ten stopień, więc
\(\displaystyle{ P'=c\cdot Q}\)
gdzie \(\displaystyle{ c\in K}\). Porównując współczynniki dostajemy, że \(\displaystyle{ c=n}\), a to kończy dowód.

[Premislav]

Każde moje rozwiązanie jest przekombinowane. Ale dzięki za poprawienie tego.