podzielność wielomianów
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
podzielność wielomianów
jak wykazać ze wielomian \(\displaystyle{ x^9+x^7+x^5+x+20}\) nie jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ x^2+1}\)
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
podzielność wielomianów
Zalozmy, ze wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^9+x^7+x^5+x+20}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x^2+1}\).
Zauwazmy, ze \(\displaystyle{ x^2+1=(x-i)\cdot (x+i)}\)
Wowczas, \(\displaystyle{ (x-i)|W(x) \quad \quad (x+i)|W(x)}\).
Powyzszy 2 warunki sa rownowazne zapisowi:
\(\displaystyle{ (x-i)|W(x) \iff W(i)=0 \quad \quad (x+i)|W(x) \iff W(-i)=0}\)
Rozwazajac poszczegolne przypadki dochodzimy do sprzecznosci....
Zauwazmy, ze \(\displaystyle{ x^2+1=(x-i)\cdot (x+i)}\)
Wowczas, \(\displaystyle{ (x-i)|W(x) \quad \quad (x+i)|W(x)}\).
Powyzszy 2 warunki sa rownowazne zapisowi:
\(\displaystyle{ (x-i)|W(x) \iff W(i)=0 \quad \quad (x+i)|W(x) \iff W(-i)=0}\)
Rozwazajac poszczegolne przypadki dochodzimy do sprzecznosci....
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
podzielność wielomianów
Da sie
Zalozmy ,ze\(\displaystyle{ W(x)=x^9+x^7+x^5+x+20}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ P(x)=x^2+1}\)
Wowczas istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h}\), taki ze \(\displaystyle{ Q(x)\cdot P(x)=W(x)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ (x^2+1)\cdot (ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h)=x^9+x^7+x^5+x+20}\)
Po wymnozeniu prawej strony otrzymamy wielomian stopnia 9. Nastepnie wystarczy porownac odpowiednie wspolczynniki wystepujacy w wielomianach i rozwiazac uklad rownan.
Wiemy, ze dwa wielomiany sa sobie rowne jezeli sa tego samego stopnia oraz wspolczynniki wystepujace przy odpowiednich potegach sa takie same.
Zalozmy ,ze\(\displaystyle{ W(x)=x^9+x^7+x^5+x+20}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ P(x)=x^2+1}\)
Wowczas istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h}\), taki ze \(\displaystyle{ Q(x)\cdot P(x)=W(x)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ (x^2+1)\cdot (ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h)=x^9+x^7+x^5+x+20}\)
Po wymnozeniu prawej strony otrzymamy wielomian stopnia 9. Nastepnie wystarczy porownac odpowiednie wspolczynniki wystepujacy w wielomianach i rozwiazac uklad rownan.
Wiemy, ze dwa wielomiany sa sobie rowne jezeli sa tego samego stopnia oraz wspolczynniki wystepujace przy odpowiednich potegach sa takie same.