Odnalezienie współczynnika wielomianu

[kacper01]

Zadanie pochodzi z III etapu JTM, z zeszłego roku szkolnego.

Wielomian piątego stopnia \(\displaystyle{ W}\) ma współczynnik wiodący równy \(\displaystyle{ -7}\). Ponadto \(\displaystyle{ W(1) = -2}\), \(\displaystyle{ W(2) = -4}\), \(\displaystyle{ W(3) = -6}\), \(\displaystyle{ W(4) = -8}\), \(\displaystyle{ W(5) = -10}\). Ile wynosi współczynnik wolny wielomianu \(\displaystyle{ W}\)?

Dziękuje za wyjaśnienie.

[piasek101]

Jaki jest wzór (literkowy) tego wielomianu ?

[Premislav]

Żadne wzory literkowe nie są potrzebne. Rozważmy wielomian pomocniczy
\(\displaystyle{ P(x)=W(x)+2x}\).
Wówczas współczynnikiem wiodącym wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) też jest \(\displaystyle{ -7}\), a ponadto
\(\displaystyle{ P(k)=0}\) dla \(\displaystyle{ k\in \left\{ 1,2,3,4,5\right\}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ P(x)=-7(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}\).
Poradzisz sobie dalej?

[kacper01]

tak, dzięki

[Mariusz M]

To zadanie można rozwiązać korzystając z interpolacji wielomianowej
Lagrange lub Newtona

Wprowadźmy sobie jakiś parametr np \(\displaystyle{ p}\)

Mamy wówczas

\(\displaystyle{ \begin{cases} W\left(0 \right)=p \\W\left( 1\right)=-2\\ W\left( 2\right)=-4\\W\left( 3\right) =-6\\W\left( 4\right)=-8\\W\left( 5\right)=-10 \end{cases}}\)

Teraz korzystamy z wzoru interpolacyjnego np Lagrange na wielomian interpolacyjny
a następnie obliczamy parametr korzystając z podanej wartości współczynnika wiodącego

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}y_{i} \prod_{j=0 \wedge j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\)

Dodatkowo \(\displaystyle{ p}\)
będzie naszą odpowiedzią