Suma iloczynów

[mol_ksiazkowy]

Ile pierwiastków rzeczywistych ma wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x(x-2)...(x-2n)+ (x-1)(x-3)...(x-(2n+1))}\) ?

[Tmkk]

Tyle, jaki jest stopień wielomianu, czyli \(\displaystyle{ n+1}\). Wystarczy sprawdzić, że kolejno \(\displaystyle{ W(0), W(2), W(4), \ldots, W(2n), W(2n+2)}\) mają różne znaki, więc w odpowiednich przedziałach jest co najmniej jeden pierwiastek. A że przedziałów jest \(\displaystyle{ n+1}\), to więcej niż po jednym pierwiastku w każdym przedziale być nie może.