Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
-
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
Udowodnij, że dla naturalnego \(\displaystyle{ n\ge 1,}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ x-y.}\)
Wynika to natychmiast ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})}\)
Wynika to natychmiast ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
Co do treści, to można się jeszcze zastanowić, jak traktować tę podzielność. Podzielność w sensie wielomianów dwóch zmiennych?
Nie widzę nic złego w tym rozwiązaniu, ale ciekaw jestem, na jakim poziomie pojawiło się takie zadanie, bo przy skorzystaniu z tego wzoru to jest trywialne, więc może nie o to chodziło pomysłodawcy (choć nie można się przyczepić do poprawności).
Można też to udowodnić indukcyjnie, korzystając z tego:
\(\displaystyle{ x^{n+1}-y^{n+1}=(x+y)(x^n-y^n)-xy(x^{n-1}-y^{n-1})}\)
ale to chyba tylko komplikowanie.
Nie widzę nic złego w tym rozwiązaniu, ale ciekaw jestem, na jakim poziomie pojawiło się takie zadanie, bo przy skorzystaniu z tego wzoru to jest trywialne, więc może nie o to chodziło pomysłodawcy (choć nie można się przyczepić do poprawności).
Można też to udowodnić indukcyjnie, korzystając z tego:
\(\displaystyle{ x^{n+1}-y^{n+1}=(x+y)(x^n-y^n)-xy(x^{n-1}-y^{n-1})}\)
ale to chyba tylko komplikowanie.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
Zgadzam się z Premislavem, że zadanie jest niezbyt fortunnie sformułowane. Poproszony o wypowiedź przez mint18 mogę też potwierdzić, że bez kontekstu, gdzie to zadanie się pojawiło trudno ocenić, jaka odpowiedź może być uznana za satysfakcjonującą.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
Chodzi o podzielność wielomianów (na co wskazuje również dział, w którym zostało zadane pytanie).
Robiłoby różnicę to czy zadanie pojawiłoby się na maturze lub na konkursie dla licealistów?
Robiłoby różnicę to czy zadanie pojawiłoby się na maturze lub na konkursie dla licealistów?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
Na maturze nie pojawi się.
A jeśli oczekiwałbym porządnego dowodu, to jednak bez indukcji się nie obejdzie - albo przy dowodzeniu podzielności, albo prawdziwości Twojego wzoru. Samo użycie wzoru trudno uznać za dowód, bo ten wzór jest wzmocnioną tezą Twojego zadania.
JK
A jeśli oczekiwałbym porządnego dowodu, to jednak bez indukcji się nie obejdzie - albo przy dowodzeniu podzielności, albo prawdziwości Twojego wzoru. Samo użycie wzoru trudno uznać za dowód, bo ten wzór jest wzmocnioną tezą Twojego zadania.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
Zasadniczo się da bez indukcji. Poniższe rozumowanie da się też zapisać w języku licealnym, ale po co:
Pamiętamy, że mamy izomorfizm \(\displaystyle{ K\left[ x,y \right] \cong \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right]}\). Rozważamy wielomian \(\displaystyle{ P \left( y \right) =x^n-y^n}\) nad \(\displaystyle{ K\left[ x\right]}\). Jego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x\in K\left[ x\right]}\), więc na mocy tw. Bezouta \(\displaystyle{ P \left( y \right) =Q \left( y \right) \left( x-y \right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ Q\in \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right]}\). Przepisując to z powrotem na \(\displaystyle{ K\left[ x,y \right]}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ x^n-y^n=\overline{Q} \left( x,y \right) \cdot \left( x-y \right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \overline{Q}\in K\left[ x,y \right]}\).
Pamiętamy, że mamy izomorfizm \(\displaystyle{ K\left[ x,y \right] \cong \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right]}\). Rozważamy wielomian \(\displaystyle{ P \left( y \right) =x^n-y^n}\) nad \(\displaystyle{ K\left[ x\right]}\). Jego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x\in K\left[ x\right]}\), więc na mocy tw. Bezouta \(\displaystyle{ P \left( y \right) =Q \left( y \right) \left( x-y \right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ Q\in \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right]}\). Przepisując to z powrotem na \(\displaystyle{ K\left[ x,y \right]}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ x^n-y^n=\overline{Q} \left( x,y \right) \cdot \left( x-y \right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \overline{Q}\in K\left[ x,y \right]}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
A mówiąc jeszcze prościej, wielomian \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) jest wielomianem n-tego stopnia względem \(\displaystyle{ x.}\) Jest on podzielny przez \(\displaystyle{ x-y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek \(\displaystyle{ x=y}\) i rzeczywiście mamy \(\displaystyle{ y^n-y^n=0}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n.}\)
Pytanie jednak dotyczyło oceny rozwiązania z pierwszego posta. Wasze zdania (Premislav i Jan Kraszewski) się różnią. Czy mógłbym dostać odpowiedź na ile % zostałoby one ocenione przez jakąś komisję sprawdzającą rozwiązania zadań?
Pytanie jednak dotyczyło oceny rozwiązania z pierwszego posta. Wasze zdania (Premislav i Jan Kraszewski) się różnią. Czy mógłbym dostać odpowiedź na ile % zostałoby one ocenione przez jakąś komisję sprawdzającą rozwiązania zadań?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
To jest pytanie, na które nie można udzielić jednoznacznej odpowiedzi - ja bym powiedział, że zostałaby oceniona na ileś tam procent...mint18 pisze:Czy mógłbym dostać odpowiedź na ile % zostałoby one ocenione przez jakąś komisję sprawdzającą rozwiązania zadań?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
Z tego drugiego zdania trzeba się usprawiedliwić, bo ta równoważność nie jest oczywista (tzn. jest prosta, ale wypadałoby dopowiedzieć, dlaczego rozkład "względem \(\displaystyle{ x}\)" da rozkład na czynniki wielomianowe względem obu zmiennych). Za to z pewnością można by było polecieć po %mint18 pisze:A mówiąc jeszcze prościej, wielomian \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) jest wielomianem n-tego stopnia względem \(\displaystyle{ x.}\) Jest on podzielny przez \(\displaystyle{ x-y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek \(\displaystyle{ x=y}\)
Okej, koniec OT
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
To zupełnie wydumana sytuacja, i to z dwóch powodów. Po pierwsze, w rozsądnej przyszłości raczej nie ma szans by takie zadanie pojawiło się na maturze. Po drugie, gdyby jednak tak się stało, to miałbym klucz i to on mówiłby mi, jak mam ocenić to rozwiązanie.
Dodatkowo, takie zadanie nie pojawiłoby się raczej na maturze, bo nie bardzo wiadomo, co miałoby sprawdzać.
Trudno oceniać rozwiązanie tego zadania w oderwaniu od kontekstu, bo to kontekst określa, co jest dozwolone/oczekiwane/wymagane. Może być ocenione na maksa, bo wzór jest prawdziwy i wynika z niego podzielność, ale może też zostać za niewystarczające, gdyż przywołany fakt nie został udowodniony, a jest on de facto wzmocnieniem tezy.
Natomiast muszę się zgodzić, że indukcja do wykazania podzielności istotnie nie jest niezbędna.
JK
Dodatkowo, takie zadanie nie pojawiłoby się raczej na maturze, bo nie bardzo wiadomo, co miałoby sprawdzać.
Trudno oceniać rozwiązanie tego zadania w oderwaniu od kontekstu, bo to kontekst określa, co jest dozwolone/oczekiwane/wymagane. Może być ocenione na maksa, bo wzór jest prawdziwy i wynika z niego podzielność, ale może też zostać za niewystarczające, gdyż przywołany fakt nie został udowodniony, a jest on de facto wzmocnieniem tezy.
Natomiast muszę się zgodzić, że indukcja do wykazania podzielności istotnie nie jest niezbędna.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
W Math Teaching Textbooks jest takie zadanie:
Prove that \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) is divisible by \(\displaystyle{ x-y}\) .
Podane rozwiązanie korzysta z indukcji matematycznej.
Prove that \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) is divisible by \(\displaystyle{ x-y}\) .
Podane rozwiązanie korzysta z indukcji matematycznej.
-
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
\(\displaystyle{ x^{n+1}-y^{n+1}=\left( x^n-y^n\right)x+y\left( x^n-y^n\right)+xy^n-yx^n= \\ =\left(x+y\right)\left( x^n-y^n\right)-xy\left( x^{n-1}-y^{n-1}\right)}\)
\(\displaystyle{ x^n-y^n}\) oraz \(\displaystyle{ x^{n-1}-y^{n-1}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ x-y}\) z założeń indukcyjnych, których tu nie zapisałem.
\(\displaystyle{ x^n-y^n}\) oraz \(\displaystyle{ x^{n-1}-y^{n-1}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ x-y}\) z założeń indukcyjnych, których tu nie zapisałem.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Podzielność, jak zostałoby to ocenione?
No to już było u Premislava...Benny01 pisze:\(\displaystyle{ x^{n+1}-y^{n+1}=\left( x^n-y^n\right)x+y\left( x^n-y^n\right)+xy^n-yx^n= \\ =\left(x+y\right)\left( x^n-y^n\right)-xy\left( x^{n-1}-y^{n-1}\right)}\)
JK