Podzielność, jak zostałoby to ocenione?

[mint18]

Udowodnij, że dla naturalnego \(\displaystyle{ n\ge 1,}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ x-y.}\)

Wynika to natychmiast ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1})}\)

[Benny01]

Ja bym preferował tutaj indukcję.

[Premislav]

Co do treści, to można się jeszcze zastanowić, jak traktować tę podzielność. Podzielność w sensie wielomianów dwóch zmiennych?

Nie widzę nic złego w tym rozwiązaniu, ale ciekaw jestem, na jakim poziomie pojawiło się takie zadanie, bo przy skorzystaniu z tego wzoru to jest trywialne, więc może nie o to chodziło pomysłodawcy (choć nie można się przyczepić do poprawności).

Można też to udowodnić indukcyjnie, korzystając z tego:
\(\displaystyle{ x^{n+1}-y^{n+1}=(x+y)(x^n-y^n)-xy(x^{n-1}-y^{n-1})}\)
ale to chyba tylko komplikowanie.

[Jan Kraszewski]

Zgadzam się z Premislavem, że zadanie jest niezbyt fortunnie sformułowane. Poproszony o wypowiedź przez mint18 mogę też potwierdzić, że bez kontekstu, gdzie to zadanie się pojawiło trudno ocenić, jaka odpowiedź może być uznana za satysfakcjonującą.

JK

[mint18]

Chodzi o podzielność wielomianów (na co wskazuje również dział, w którym zostało zadane pytanie).
Robiłoby różnicę to czy zadanie pojawiłoby się na maturze lub na konkursie dla licealistów?

[Jan Kraszewski]

Na maturze nie pojawi się.

A jeśli oczekiwałbym porządnego dowodu, to jednak bez indukcji się nie obejdzie - albo przy dowodzeniu podzielności, albo prawdziwości Twojego wzoru. Samo użycie wzoru trudno uznać za dowód, bo ten wzór jest wzmocnioną tezą Twojego zadania.

JK

[Kaf]

Zasadniczo się da bez indukcji. Poniższe rozumowanie da się też zapisać w języku licealnym, ale po co:

Pamiętamy, że mamy izomorfizm \(\displaystyle{ K\left[ x,y \right] \cong \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right]}\). Rozważamy wielomian \(\displaystyle{ P \left( y \right) =x^n-y^n}\) nad \(\displaystyle{ K\left[ x\right]}\). Jego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x\in K\left[ x\right]}\), więc na mocy tw. Bezouta \(\displaystyle{ P \left( y \right) =Q \left( y \right) \left( x-y \right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ Q\in \left( K\left[ x\right] \right)\left[ y \right]}\). Przepisując to z powrotem na \(\displaystyle{ K\left[ x,y \right]}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ x^n-y^n=\overline{Q} \left( x,y \right) \cdot \left( x-y \right)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \overline{Q}\in K\left[ x,y \right]}\).

[mint18]

A mówiąc jeszcze prościej, wielomian \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) jest wielomianem n-tego stopnia względem \(\displaystyle{ x.}\) Jest on podzielny przez \(\displaystyle{ x-y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek \(\displaystyle{ x=y}\) i rzeczywiście mamy \(\displaystyle{ y^n-y^n=0}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n.}\)

Pytanie jednak dotyczyło oceny rozwiązania z pierwszego posta. Wasze zdania (Premislav i Jan Kraszewski) się różnią. Czy mógłbym dostać odpowiedź na ile % zostałoby one ocenione przez jakąś komisję sprawdzającą rozwiązania zadań?

[Jan Kraszewski]

Czy mógłbym dostać odpowiedź na ile % zostałoby one ocenione przez jakąś komisję sprawdzającą rozwiązania zadań?

To jest pytanie, na które nie można udzielić jednoznacznej odpowiedzi - ja bym powiedział, że zostałaby oceniona na ileś tam procent...

JK

[mint18]

Przez komisję maturalną (jeśli zmieniłby się zakres materiału i zadanie mogłoby się tam pojawić).

[Kaf]

A mówiąc jeszcze prościej, wielomian \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) jest wielomianem n-tego stopnia względem \(\displaystyle{ x.}\) Jest on podzielny przez \(\displaystyle{ x-y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek \(\displaystyle{ x=y}\)

Z tego drugiego zdania trzeba się usprawiedliwić, bo ta równoważność nie jest oczywista (tzn. jest prosta, ale wypadałoby dopowiedzieć, dlaczego rozkład "względem \(\displaystyle{ x}\)" da rozkład na czynniki wielomianowe względem obu zmiennych). Za to z pewnością można by było polecieć po %

Okej, koniec OT

[Jan Kraszewski]

To zupełnie wydumana sytuacja, i to z dwóch powodów. Po pierwsze, w rozsądnej przyszłości raczej nie ma szans by takie zadanie pojawiło się na maturze. Po drugie, gdyby jednak tak się stało, to miałbym klucz i to on mówiłby mi, jak mam ocenić to rozwiązanie.

Dodatkowo, takie zadanie nie pojawiłoby się raczej na maturze, bo nie bardzo wiadomo, co miałoby sprawdzać.

Trudno oceniać rozwiązanie tego zadania w oderwaniu od kontekstu, bo to kontekst określa, co jest dozwolone/oczekiwane/wymagane. Może być ocenione na maksa, bo wzór jest prawdziwy i wynika z niego podzielność, ale może też zostać za niewystarczające, gdyż przywołany fakt nie został udowodniony, a jest on de facto wzmocnieniem tezy.

Natomiast muszę się zgodzić, że indukcja do wykazania podzielności istotnie nie jest niezbędna.

JK

[Elayne]

W Math Teaching Textbooks jest takie zadanie:
Prove that \(\displaystyle{ x^n-y^n}\) is divisible by \(\displaystyle{ x-y}\) .

Podane rozwiązanie korzysta z indukcji matematycznej.

[Benny01]

\(\displaystyle{ x^{n+1}-y^{n+1}=\left( x^n-y^n\right)x+y\left( x^n-y^n\right)+xy^n-yx^n= \\ =\left(x+y\right)\left( x^n-y^n\right)-xy\left( x^{n-1}-y^{n-1}\right)}\)

\(\displaystyle{ x^n-y^n}\) oraz \(\displaystyle{ x^{n-1}-y^{n-1}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ x-y}\) z założeń indukcyjnych, których tu nie zapisałem.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x^{n+1}-y^{n+1}=\left( x^n-y^n\right)x+y\left( x^n-y^n\right)+xy^n-yx^n= \\ =\left(x+y\right)\left( x^n-y^n\right)-xy\left( x^{n-1}-y^{n-1}\right)}\)

No to już było u Premislava...

JK