Pierwiastki wielomianu

[matematykipatyk]

Wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x^3+( \sqrt{2}+ \sqrt{3}+ \sqrt{5} )x^2+( \sqrt{6}+ \sqrt{10} + \sqrt{15})x + \sqrt{30}}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Oblicz sumę kwadratów pierwiastków tego wielomianu.

[Premislav]

Zastosuj wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia.
Wskazówka:
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1 x_2+x_2x_3+x_3x_1)}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ 2+3+5=10}\)
Na oko widać te pierwiastki

[Premislav]

Faktycznie, tak szybciej. Jednak dla wielomianu
\(\displaystyle{ P(x)=x^3+(e^{2}+\sin \frac{\pi}{17}-33! \gamma^{\frac 5 4})x^2+\left(68\pi- \frac{\sqrt{3}^{\sqrt{3}}}{\log_2\sqrt[4]{77}}\right)x+\left( \zeta(2137)+\Phi(e^{-18})\right)}\)
ten sposób nie zadziała. Ogólnie mam za złe zadaniom szkolnym, że za dużo w nich można zgadnąć i przez to prześlizgnąć się (nawet na dobrych ocenach) bez wiedzy i umiejętności.-- 11 cze 2018, o 11:58 --Oczywiście nie tyczy się to Autora wpisu, tylko jest to taka ogólna smutna refleksja.

[a4karo]

To nie jest wielomian! To jest wielostwór potworniak. Tego sie nawet nie leczy

[matematykipatyk]

Wzorów Vietta dla wielomianu 3 - go stopnia nie mogę stosować bo to zadanie z liceum. Po podstawieniu \(\displaystyle{ 2,3,5}\) wielomian się nie zeruje.

[a4karo]

Pewnie, że nie, bo to sa kwdaraty pierwiastków

Czyżby w liceum obowiązywał zakaz używania tych wzorów?

[matematykipatyk]

Tzn. że pierwiastki trzeba po prostu zauważyć. Właściwie jak to zrobiłeś, że widzisz to, że trzeba tam wstawić takie liczby.

[PoweredDragon]

Z wzorów Viete'a:
Masz \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 = \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
Oraz \(\displaystyle{ x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3 = \sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15} = \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{5}}\)

Chyba dość widać, nie?

1. Wolno ci ich używać o ile je znasz
2. Warto je znać
3. O ile pamiętam, podręczniki do rozszerzenia je omawiają, a zadanie z podstawy to to na pewno nie jest...