Wielomian o współczynnikach całkowitych

[anetooaa123]

Witam, jeśli coś źle zamieszczam lub zaśmiecam forum z góry przepraszam, potem najwyżej usunę.

Mam ogromny problem z zadaniem. Może jest ktoś kto pomoże.

Wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartość 2006 dla trzech różnych argumentów całkowitych. Udowodnić, że nie przyjmuje on wartości 2025 trzech argumentów całkowitych.

[PoweredDragon]

Ukryta treść:    

Z treści zadania, ten wielomian możemy opisać jako \(\displaystyle{ W(x) = P(x)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)+2006}\)
Gdzie \(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_2}\), \(\displaystyle{ x_3}\) są żądanymi trzema różnymi argumentami.
Załóżmy istnienie takich trzech liczb \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\), że
\(\displaystyle{ W(a)=W(b)=W(c) = 2025}\).

Wówczas \(\displaystyle{ Q(x)=W(x)-2025 = P(x)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)-19}\)

Pierwiastkami \(\displaystyle{ Q}\) są oczywiście \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\). Wszystkie czynniki w iloczynie \(\displaystyle{ P(x)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\), zaś 19 jest pierwsze, stąd wprost \(\displaystyle{ P(x) \equiv \pm 1}\) (każdy z czynników poza \(\displaystyle{ P(x)}\) jest różny ze względu na różność \(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_2}\), \(\displaystyle{ x_3}\), zaś \(\displaystyle{ 19 = 1 \cdot 19 = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-19) = (-1) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 19}\) są jedynymi metodami rozpisania 19 na iloczyn czterech liczb całkowitych). Rozpatrzę tylko jeden przypadek (drugi przebiega analogicznie). \(\displaystyle{ P(x) \equiv 1}\) Stąd

\(\displaystyle{ (a-x_1)(a-x_2)(a-x_3) = 19 \\ (b-x_1)(b-x_2)(b-x_3) = 19 \\ (c-x_1)(c-x_2)(c-x_3) = 19}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ (a-x_1) = 1}\), wówczas BSO \(\displaystyle{ b-x_1 = -1}\) (jedna z liczb \(\displaystyle{ b-x_1}\) i \(\displaystyle{ c-x_1}\) musi tyle wynosić)
Skąd
\(\displaystyle{ x_1 = a-1}\), \(\displaystyle{ x_1 = b+1}\)
\(\displaystyle{ b+1 = a-1 \\
b-a = -2 \\}\)
BSO również
\(\displaystyle{ (a-x_2) = -1}\) (nie robi bowiem różnicy czy \(\displaystyle{ -1 = a-x_2}\) czy \(\displaystyle{ -1 = a-x_3}\), jedna musi tyle wynosić)
Jak stronami dodamy \(\displaystyle{ b}\), mamy wówczas
\(\displaystyle{ (b-x_2)=(b-a)-1 = -3}\) - sprzeczność ze wspomnianymi możliwymi czynnikami. Zatem założenie o tym, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są jednocześnie pierwiastkami \(\displaystyle{ Q}\) musiało być błędne.

Chyba nie ma luk w rozumowaniu, a jednak coś mi tu nie gra :O

[Premislav]

Tutaj było nieco podobne zadanie: 34476.htm#p145523

Spróbujmy napocząć to zadanie jakoś podobnie. Niech ten wielomian to będzie \(\displaystyle{ P(x)}\).
Wiemy, że dla pewnych różnych całkowitych \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\), powiedzmy \(\displaystyle{ x_1<x_2<x_3}\), mamy \(\displaystyle{ P(x)-2006=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)Q_1(x)}\)
dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ Q_1(x)}\) o współczynnikach całkowitych. \(\displaystyle{ (1.)}\)
Przypuśćmy nie wprost, że dla pewnych całkowitych \(\displaystyle{ x_4<x_5<x_6}\) mamy
\(\displaystyle{ P(x)-2006=(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)Q_2(x)}\)
gdzie również \(\displaystyle{ Q_2(x)}\) ma współczynniki całkowite. \(\displaystyle{ (2.)}\)
Odejmując stronami \(\displaystyle{ (2.)}\) od \(\displaystyle{ (1.)}\) dostaniemy
\(\displaystyle{ 19=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)Q_1(x)-(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)Q_2(x)}\)
Wstawiając w tej tożsamości kolejno
\(\displaystyle{ x:=x_1, x:=x_2, x:=x_3}\)
otrzymujemy wniosek, że liczby
\(\displaystyle{ x_1-x_4, x_1-x_5, x_1-x_6, \ x_2-x_4, x_2-x_5, x_2-x_6, \ x_3-x_4, x_3-x_5, x_3-x_6}\)
są wszystkie dzielnikami liczby pierwszej \(\displaystyle{ 19=19cdot 1=(-19)cdot (-1)}\).
Tych liczb jest aż dziewięć, a możliwe wartości (dzielniki dziewiętnastki) są tylko cztery, więc któreś się powtarzają (m.in. z Dirichleta któraś wartość wystąpiła co najmniej trzy razy) i może to coś da.

-- 6 cze 2018, o 22:07 --

Dobra, nie dość, że zostałem wyprzedzony, to spaliłem. Najgorsze, że zamknęli mi monopolowy.

-- 6 cze 2018, o 22:15 --

Podsumowując: to już drugi bądź trzeci wątek, w którym PoweredDragon uczy mnie rozkładu na czynniki pierwsze (choć niby miałem to na algebrze abstrakcyjnej, a nawet dwa razy, na łatwiejszej dawno temu i na trudniejszej niedawno) i jak dotąd widocznie nie załapałem.
Nie da się być bardziej przegranym człowiekiem niż ja, lol