Udowodnić, że jesli \(\displaystyle{ d}\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) =ax^3 +bx+c}\) gdzie \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b<0}\) to \(\displaystyle{ |d| > 2\sqrt{ \frac{-b}{3a}}}\)
Mamy \(\displaystyle{ Q(x) = x^3+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = x^3 +ex+f}\)
Ma on takie same rozwiązania co \(\displaystyle{ W}\)
Rozwiążmy równanie \(\displaystyle{ Q(x)=0}\) \(\displaystyle{ Q}\) występuje w postaci kanonicznej. Załóżmy, że \(\displaystyle{ x = u+v}\) dla pewnych \(\displaystyle{ u, v}\)
Wówczas \(\displaystyle{ x^3 = u^3+3uv^2+3vu^2+v^3=3uv(u+v)+u^3+v^3 = 3uvx+u^3+v^3}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ x^3 -3uvx - (u^3+v^3) = 0}\), skąd \(\displaystyle{ e = -3uv}\)
Z równości wyżej wynika, że \(\displaystyle{ uv}\) są tego samego znaku (\(\displaystyle{ e}\) jest ujemne, więc \(\displaystyle{ uv}\) jest dodatnie).
A zatem podstawiając do naszej nierówności: \(\displaystyle{ \left| x\right| > 2 \sqrt{uv}}\) \(\displaystyle{ \left| u+v \right| > 2 \sqrt{uv}}\) \(\displaystyle{ \left| \frac{u+v}{2}\right| > \sqrt{uv}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są tego samego znaku, to dla nieujemnych nierówność wynika z \(\displaystyle{ AM-GM}\), jeśli zaś są ujemne, to podstawmy \(\displaystyle{ m = -u, n = -v}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ \left| \frac{u+v}{2}\right| = \left| \frac{-(u+v)}{2}\right| = \left| \frac{m+n}{2}\right| = \frac{m+n}{2} > \sqrt{mn}}\) co też jest prawdziwe na mocy AM-GM
Należałoby jeszcze uzasadnić tę równość współczynników, ale mi się nie chce :V
Ostatnio zmieniony 6 maja 2018, o 15:04 przez PoweredDragon, łącznie zmieniany 2 razy.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ c>0}\) (przypadek przeciwny rozpatruje się analogicznie).
Z faktu, żę \(\displaystyle{ W'(0)=b<0}\) wnioskujemy, że jedyny rzeczywisty pierwiastek \(\displaystyle{ d}\) jest ujemny, a wielomian osiąga minimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x_0=\sqrt[3]{-b/3a}}\).
Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ W_0(x)=ax^3+bx+c_0}\), którego minimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest równe zero. Ten wielomian ma trzy pierwiastki: \(\displaystyle{ x_0}\) (podwójny) i \(\displaystyle{ -2x_0}\).
Dla zakończenia dowodu wystarczy zaobserwować, że gdy "podnosimy" wykres wielomianu od pozycji \(\displaystyle{ W_0}\) do pozycji \(\displaystyle{ W}\), ujemny pierwiastek maleje (co wynika z monotoniczności wielomiany na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -x_0)}\)