Wielomian i nierówność

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jesli \(\displaystyle{ d}\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) =ax^3 +bx+c}\) gdzie \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b<0}\) to \(\displaystyle{ |d| > 2\sqrt{ \frac{-b}{3a}}}\)

[PoweredDragon]

Ukryta treść:    

Mamy \(\displaystyle{ Q(x) = x^3+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = x^3 +ex+f}\)
Ma on takie same rozwiązania co \(\displaystyle{ W}\)
Rozwiążmy równanie \(\displaystyle{ Q(x)=0}\)
\(\displaystyle{ Q}\) występuje w postaci kanonicznej. Załóżmy, że \(\displaystyle{ x = u+v}\) dla pewnych \(\displaystyle{ u, v}\)

Wówczas
\(\displaystyle{ x^3 = u^3+3uv^2+3vu^2+v^3=3uv(u+v)+u^3+v^3 = 3uvx+u^3+v^3}\)

Mamy zatem

\(\displaystyle{ x^3 -3uvx - (u^3+v^3) = 0}\), skąd
\(\displaystyle{ e = -3uv}\)
Z równości wyżej wynika, że \(\displaystyle{ uv}\) są tego samego znaku (\(\displaystyle{ e}\) jest ujemne, więc \(\displaystyle{ uv}\) jest dodatnie).

A zatem podstawiając do naszej nierówności:
\(\displaystyle{ \left| x\right| > 2 \sqrt{uv}}\)
\(\displaystyle{ \left| u+v \right| > 2 \sqrt{uv}}\)
\(\displaystyle{ \left| \frac{u+v}{2}\right| > \sqrt{uv}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są tego samego znaku, to dla nieujemnych nierówność wynika z \(\displaystyle{ AM-GM}\), jeśli zaś są ujemne, to podstawmy \(\displaystyle{ m = -u, n = -v}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ \left| \frac{u+v}{2}\right| = \left| \frac{-(u+v)}{2}\right| = \left| \frac{m+n}{2}\right| = \frac{m+n}{2} > \sqrt{mn}}\) co też jest prawdziwe na mocy AM-GM
Należałoby jeszcze uzasadnić tę równość współczynników, ale mi się nie chce :V

[kerajs]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ W_{max}=W( -\sqrt{ \frac{-b}{3a}} )= \frac{-2b}{3}\sqrt{ \frac{-b}{3a}}+c \\
W_{min}=W( \sqrt{ \frac{-b}{3a}} )= \frac{2b}{3}\sqrt{ \frac{-b}{3a}}+c}\)
W(x) rośnie dla \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\langle -\sqrt{ \frac{-b}{3a}},\sqrt{ \frac{-b}{3a}}\right\rangle}\)
a)zał:
\(\displaystyle{ W_{max}<0}\)
1)
\(\displaystyle{ d> x_{min} \Rightarrow d>\sqrt{ \frac{-b}{3a}}}\)
2)
\(\displaystyle{ W(2 \sqrt{ \frac{-b}{3a} } )=\frac{-2b}{3}\sqrt{ \frac{-b}{3a}}+c=W_{max}<0}\)
3)
\(\displaystyle{ \left( W(d)=0 \wedge W(2 \sqrt{ \frac{-b}{3a} })<0\right) \Rightarrow \left( d>2 \sqrt{ \frac{-b}{3a} }\right)}\)


b)zał:
\(\displaystyle{ W_{min}>0}\)
1)
\(\displaystyle{ d< x_{max} \Rightarrow d<-\sqrt{ \frac{-b}{3a}}}\)
2)
\(\displaystyle{ W(-2 \sqrt{ \frac{-b}{3a} } )=\frac{2b}{3}\sqrt{ \frac{b}{3a}}+c=W_{min}>0}\)
3)
\(\displaystyle{ \left( W(d)=0 \wedge W(-2 \sqrt{ \frac{-b}{3a} })>0\right) \Rightarrow \left( d<-2 \sqrt{ \frac{-b}{3a} }\right)}\)


z a)b) wynika teza: \(\displaystyle{ \left| d\right| >(2 \sqrt{ \frac{-b}{3a} }}\)

[a4karo]

To ja może jeszcze inaczej: prawie bez rachunków

Ukryta treść:    

Załóżmy, że \(\displaystyle{ c>0}\) (przypadek przeciwny rozpatruje się analogicznie).

Z faktu, żę \(\displaystyle{ W'(0)=b<0}\) wnioskujemy, że jedyny rzeczywisty pierwiastek \(\displaystyle{ d}\) jest ujemny, a wielomian osiąga minimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x_0=\sqrt[3]{-b/3a}}\).

Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ W_0(x)=ax^3+bx+c_0}\), którego minimum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest równe zero. Ten wielomian ma trzy pierwiastki: \(\displaystyle{ x_0}\) (podwójny) i \(\displaystyle{ -2x_0}\).
Dla zakończenia dowodu wystarczy zaobserwować, że gdy "podnosimy" wykres wielomianu od pozycji \(\displaystyle{ W_0}\) do pozycji \(\displaystyle{ W}\), ujemny pierwiastek maleje (co wynika z monotoniczności wielomiany na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -x_0)}\)