Wielomian o wartościach w liczbach pierwszych.

[matematykipatyk]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17}\). Wyznazcz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ k}\), dla których \(\displaystyle{ w(k)}\) jest liczbą pierwszą.


Wg. rozwiązania pierwszy krok jest następujący:

Zapisanie wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) w postaci iloczynu czynników nierozkładalnych:
\(\displaystyle{ w(x) = (x^2+8x +17)(x^2+1)}\) i zauważenie, że każdy z tych czynników przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Chciałbym zapytać się jakim cudem można zauważyć ten fakt, że należy taki wielomian przedstawić w postaci takiego iloczynu aby móc rozwiązać to zadanie.

[kerajs]

Tu akurat widać, że dla \(\displaystyle{ x=i}\) wielomian się wyzeruje. A skoro wielomian ma współczynniki rzeczywiste, to drugim pierwiastkiem będzie sprzężony z pierwszym \(\displaystyle{ x=-i}\).

[bartek118]

Można też zauważyć, że wielomian nie ma pierwiastków wymiernych i zapisać go jako
\(\displaystyle{ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\), wymnożyć i porównać stronami.

[a4karo]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17}\). Wyznazcz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ k}\), dla których \(\displaystyle{ w(k)}\) jest liczbą pierwszą.


Wg. rozwiązania pierwszy krok jest następujący:

Zapisanie wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) w postaci iloczynu czynników nierozkładalnych:
\(\displaystyle{ w(x) = (x^2+8x +17)(x^2+1)}\) i zauważenie, że każdy z tych czynników przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Chciałbym zapytać się jakim cudem można zauważyć ten fakt, że należy taki wielomian przedstawić w postaci takiego iloczynu aby móc rozwiązać to zadanie.

Jak chcemy doradzić, czy liczba jest pierwszą, to naturalna rzeczą jest próbą jej rozłożenia

[Dilectus]

Hmm... Zaplątałem się i doszedłem do dziwnych wniosków. Pomóżcie, proszę.

Wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) da się przedstawić jako iloczyn dwóch innych wielomianów

\(\displaystyle{ w(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17= (x^2+8x +17)(x^2+1)}\)

A więc ten wielomian jest iloczynem dwóch liczb \(\displaystyle{ a=x^2+8x +17 \quad \text{i} \quad b=x^2+1}\)

A jako iloczyn dwóch nieujemnych liczb może być liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy jeden czynnik jest równy \(\displaystyle{ 1}\), a drugi - liczbą pierwszą.

Tymczasem łatwo widać, że

\(\displaystyle{ w(x) \in \left\langle 16, \infty \right)}\)

a więc zbiór wartości tego wielomianu zawiera wszystkie liczby pierwsze większe od \(\displaystyle{ 16}\)

Gdzie popełniam błąd w rozumowaniu?

[Jan Kraszewski]

A więc ten wielomian jest iloczynem dwóch liczb \(\displaystyle{ a=x^2+8x +17 \quad \text{i} \quad b=x^2+1}\)

To brzmi strasznie...

A jako iloczyn dwóch nieujemnych liczb może być liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy jeden czynnik jest równy \(\displaystyle{ 1}\), a drugi - liczbą pierwszą.

Czyżby? A co powiesz na \(\displaystyle{ 2= \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\) ?

JK

[matematykipatyk]

Dlaczego z tego, że wielomian nie ma pierwiastków wymiernych wynika to, że można go zapisać w postaci \(\displaystyle{ (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\).

[Mariusz M]

Każdy wielomian czwartego stopnia możesz zapisać w tej postaci
jednak mniej obliczeń będziesz miał jeśli najpierw zapiszesz go w postaci różnicy kwadratów

[matematykipatyk]

Nadal nie rozumiem jaki tok myślenia ma mnie doprowadzić do tego aby zapisać wielomian za pomocą takiego iloczynu. Nie wiem także jak dojść do takiej postaci wielomianu.

[bartek118]

Nadal nie rozumiem jaki tok myślenia ma mnie doprowadzić do tego aby zapisać wielomian za pomocą takiego iloczynu. Nie wiem także jak dojść do takiej postaci wielomianu.

Ze szkoły średniej powinieneś znać twierdzenie, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych da się zapisać jako iloczyn wielomianów liniowych i kwadratowych, również o współczynnikach rzeczywistych.

[MrCommando]

Nadal nie rozumiem jaki tok myślenia ma mnie doprowadzić do tego aby zapisać wielomian za pomocą takiego iloczynu. Nie wiem także jak dojść do takiej postaci wielomianu.

Metodą grupowania wyrazów...
\(\displaystyle{ W(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17=x^4+x^2+8x^3+8x+17x^2+17=\\=x^2(x^2+1)+8x(x^2+1)+17(x^2+1)=(x^2+1)(x^2+8x+17)}\)

[matematykipatyk]

Pozwólcie ,że pociągnę temat dalej. To naprawdę widać tak na pierwszy rzut oka, że trzeba tak te wyrazy pogrupować. Jak dla mnie to jest koszmarnie trudne do zauważenia.

[AiDi]

Dlatego zamiast kombinować można skorzystać z tego o czym napisał bartek118, bo to nic nadzwyczajnie sprytnego, tylko podstawowy fakt dotyczący wielomianów.

[Dilectus]

Wróćmy do promlemu matematykaipatyka, bo jeszcze nie został rozwiązany:

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^4+8x^3+18x^2+8x+17}\). Wyznazcz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ k}\), dla których \(\displaystyle{ w(k)}\) jest liczbą pierwszą.

Na razie wiemy, jak rozłożyć ten wielomian. Ale jak znaleźć takie argumenty, dla \(\displaystyle{ w(x)}\) jest liczbą pierwszą?

[PoweredDragon]

Poza tym każdy źle odpowiada na jego zmartwienie. Jemu nie chodzi o możliwość rozkładu na iloczyn tylko fakt, że to, że należy rozłożyć wielomian do postaci iloczynowej jest niezauważalne. Ta jednak padła, tylko chyba ją nieco zignorował - rozkładamy wielomian na postać iloczynową, gdyż liczba pierwsza ma jedynie dwa czynniki całkowite - 1 i samą siebie, stąd dla argumentów całkowitych odpowiednie nawiasy muszą wynosić właściwe wartości