Równanie z parametrem

[klimat]

Znajdź wszystkie wartości całkowite \(\displaystyle{ k}\) da których równanie \(\displaystyle{ x^3+(k+1)x^2-(2k-1)x-(2k^2+k+4)=0}\) ma pierwiastki całkowite.

[bartek118]

Znasz twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych?

[klimat]

Chodzi o to że muszą być całkowitymi dzielnikami wyrazu wolnego?

[Zymon]

Dokładniej chodzi o to, że muszą być postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze natomiast \(\displaystyle{ p}\) wyrazu wolnego.
W Twoim przypadku \(\displaystyle{ q = 1}\) więc w istocie muszą być dzielnikami wyrazu wolnego.

[Jan Kraszewski]

Dokładniej chodzi o to, że muszą być postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze natomiast \(\displaystyle{ p}\) wyrazu wolnego.

Dokładniej, to nie. bartek118 wyraźnie napisał o twierdzeniu o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych, Ty zaś piszesz o twierdzeniu o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, więc o czym innym.

JK

[Zymon]

Czy wobec faktu, że twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych jest uogólnieniem twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych, nie jest zasadnym użycie słowa dokładniej?

Choć przyznaję, przy tak postawionym pytaniu przez klimat moja odpowiedź mogła być troszkę nie na temat.

[Jan Kraszewski]

Czy wobec faktu, że twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych jest uogólnieniem twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych, nie jest zasadnym użycie słowa dokładniej?

Niewątpliwie dokładnej zależy to od interpretacji znaczenia słowa "dokładniej"...

JK

[MrCommando]

Mamy zatem równanie \(\displaystyle{ x^3+(k+1)x^2-(2k-1)x-(2k^2+k+4)=0}\). Dokonajmy podstawienia \(\displaystyle{ a=k+1}\) i \(\displaystyle{ b=2k-1}\). Wówczas wyjściowe równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ x^3+ax^2-bx-ab-5=0}\). Teraz łatwo zauważyć, że można zapisać to równanie w postaci \(\displaystyle{ (x+a)(x^2-b)=5}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ (x+k+1)(x^2-2k+1)=5}\). Ponieważ z założenia mamy \(\displaystyle{ x, k \in \mathbb{Z}}\), to widać od razu że możliwości jest skończenie wiele - dokładnie są cztery:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+k+1=5\\x^2-2k+1=1 \end{array} \vee \left\{\begin{array}{l} x+k+1=-5\\x^2-2k+1=-1 \end{array} \vee \left\{\begin{array}{l} x+k+1=1\\x^2-2k+1=5 \end{array} \vee \left\{\begin{array}{l} x+k+1=-1\\x^2-2k+1=-5 \end{array}}\).

Rozwiązujemy powyższe układy, odrzucamy rozwiązania nie spełniające założeń i po temacie.

O ile się nie pomyliłem w rachunkach, to otrzymamy \(\displaystyle{ (x,k)=(-4,8)}\) lub \(\displaystyle{ (x,k)=(2,2)}\).

bartek118, mógłbyś pokazać swój pomysł (wykorzystujący twierdzenie o pierwiastkach całkowitych)? Nie widzę za bardzo takiej metody, a jestem ciekaw jak można by to inaczej zrobić.