wykazać, że równanie \(\displaystyle{ x^5 + x = 10}\) ma dokładnie ma dokładnie jeden dodatni pierwiastek i jest on liczbą niewymierną
Generalnie wydaje się ono prosto... do czasu
mianowicie liczę pochodną, widzę, że ta jest zawsze większa od zera zatem funkcja jest monotoniczna rosnąca. Liczę \(\displaystyle{ f(1)}\), \(\displaystyle{ f(2)}\), stwierdzam, że \(\displaystyle{ f(1)f(2)<0}\) zatem istnieje pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (1;2)}\). Ale teraz jak udowodnić, ze ten pierwiastek jest niewymierny?
Ewentualnie - rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = x^5 + x - 10}\). Wtedy \(\displaystyle{ f'(x) = 5x^4 + 1 \geq 1 > 0}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle rosnąca. Oczywiście wielomian nieparzystego stopnia ma pierwiastek, co oznacza zarazem, że jest to jedyny pierwiastek.
