Dziwna sprawa
- illwreakyabonez
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 11 razy
Dziwna sprawa
Jeżeli mamy funkcję daną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}+6x ^{2}-15x+4}\), a za zadanie wyznaczyć równoległe z osią OX styczne do wykresu tej funkcji, to licząc z pochodnej wychodzą nam przedziały monotoniczności funkcji, a mianowicie:
1. Funkcja rośnie dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty;-5) \cup (1;+ \infty)}\)
2. Maleje dla \(\displaystyle{ \in (-5;1)}\)
Ponieważ współczynnik kierunkowy prostych musi się równać \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ a=f'(x _{0})}\), oznacza, że dla \(\displaystyle{ x _{0} = -5 \vee x_{0} = 1}\) współczynnik się zgadza, i prosta jest styczna to wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).
No i wszystko fajnie ładnie, jedna styczna równa się \(\displaystyle{ 104}\), a druga \(\displaystyle{ -4}\), tylko że funkcja osiąga wartości z przedziału \(\displaystyle{ y \in (- \infty;+ \infty)}\), a ponieważ funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych, to styczne do wykresu funkcji, jednocześnie równoległe do osi OX nie istnieją?
Czegoś nie rozumiem, mylę się, czy pochodne działają tylko "czasami"?
Dla pewności sprawdziłem wykres tej funkcji w programie rysującym wykresy i obie styczne przecinają się w dwóch punktach wykresu.
1. Funkcja rośnie dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty;-5) \cup (1;+ \infty)}\)
2. Maleje dla \(\displaystyle{ \in (-5;1)}\)
Ponieważ współczynnik kierunkowy prostych musi się równać \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ a=f'(x _{0})}\), oznacza, że dla \(\displaystyle{ x _{0} = -5 \vee x_{0} = 1}\) współczynnik się zgadza, i prosta jest styczna to wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).
No i wszystko fajnie ładnie, jedna styczna równa się \(\displaystyle{ 104}\), a druga \(\displaystyle{ -4}\), tylko że funkcja osiąga wartości z przedziału \(\displaystyle{ y \in (- \infty;+ \infty)}\), a ponieważ funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych, to styczne do wykresu funkcji, jednocześnie równoległe do osi OX nie istnieją?
Czegoś nie rozumiem, mylę się, czy pochodne działają tylko "czasami"?
Dla pewności sprawdziłem wykres tej funkcji w programie rysującym wykresy i obie styczne przecinają się w dwóch punktach wykresu.
Ostatnio zmieniony 26 mar 2018, o 15:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Dziwna sprawa
No i co z tego?illwreakyabonez pisze:No i wszystko fajnie ładnie, jedna styczna równa się \(\displaystyle{ 104}\), a druga \(\displaystyle{ -4}\), tylko że funkcja osiąga wartości z przedziału \(\displaystyle{ y \in (- \infty;+ \infty)}\),
Istnieją - wyznaczyłeś je.illwreakyabonez pisze:a ponieważ funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych, to styczne do wykresu funkcji, jednocześnie równoległe do osi OX nie istnieją?
No i co z tego? Styczność jest własnością lokalną - mówimy o styczności w punkcie. To, że gdzieś dalej prosta przecina wykres funkcji nie ma nic do rzeczy.illwreakyabonez pisze:Dla pewności sprawdziłem wykres tej funkcji w programie rysującym wykresy i obie styczne przecinają się w dwóch punktach wykresu.
JK
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Re: Dziwna sprawa
Kod: Zaznacz cały
https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-podreczniki_view.php?mode=view&categId=4&handbookId=51&moduleId=519
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dziwna sprawa
Być styczną nie oznacza, że nie może się ona przeciąć z wykresem funkcji.
A styczna może przeciąć wykres nawet w punkcie styczności.
A styczna może przeciąć wykres nawet w punkcie styczności.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Dziwna sprawa
Czy jesteś tego pewien?funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych
- illwreakyabonez
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 11 razy
Re: Dziwna sprawa
\(\displaystyle{ + \infty}\) i \(\displaystyle{ - \infty}\) to wyrażenia nieoznaczone, więc nie można stwierdzić, czy funkcja nie osiąga wartości mniejszej/większej, niż to, co sobie wymyślisz. Nie odnaleziono jeszcze liczby największej, o ile się nie mylęDilectus pisze:Czy jesteś tego pewien?funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Dziwna sprawa
\(\displaystyle{ f(x)=x^3+6x^2-15x+4}\)
policzmy pochodną
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2+12x-15=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=144+12\cdot15=324>0}\)
a więc istnieją dwa ekstrema - maksimum i minimum, jak to często bywa w wielomianach stopnia trzeciego.
policzmy pochodną
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2+12x-15=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=144+12\cdot15=324>0}\)
a więc istnieją dwa ekstrema - maksimum i minimum, jak to często bywa w wielomianach stopnia trzeciego.
- illwreakyabonez
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 11 razy
Re: Dziwna sprawa
Tak, są to ekstrema lokalne, ale nie wartości maksymalne i minimalne funkcjiDilectus pisze:\(\displaystyle{ f(x)=x^3+6x^2-15x+4}\)
policzmy pochodną
\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2+12x-15=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=144+12\cdot15=324>0}\)
a więc istnieją dwa ekstrema - maksimum i minimum, jak to często bywa w wielomianach stopnia trzeciego.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dziwna sprawa
Cóż, zupełnie niepotrzebnie pomieszałeś dwie niezależne rzeczy: istnienie stycznych do krzywej (własność lokalna) i istnienie ekstremów funkcji (własność globalna). Po wyjaśnieniach wyżej powinieneś wiedzieć, że nie maja one ze sobą żadnego związku.
Natomiast istnienie poziomych stycznych do krzywej ma jak najściślejszy związek z ekstremami lokalnymi.
Natomiast istnienie poziomych stycznych do krzywej ma jak najściślejszy związek z ekstremami lokalnymi.
- illwreakyabonez
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 11 razy
Re: Dziwna sprawa
Tak, poprzednią Twoją wiadomość przeczytałem i zrozumiałem zagadnienie, tylko nie dałem znać na forum :/a4karo pisze:Cóż, zupełnie niepotrzebnie pomieszałeś dwie niezależne rzeczy: istnienie stycznych do krzywej (własność lokalna) i istnienie ekstremów funkcji (własność globalna). Po wyjaśnieniach wyżej powinieneś wiedzieć, że nie maja one ze sobą żadnego związku.
Natomiast istnienie poziomych stycznych do krzywej ma jak najściślejszy związek z ekstremami lokalnymi.
Już jest dla mnie jasne od tygodnia
Chodzi o styczność lokalną, nie "globalną". Dziękuję za pomoc
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Dziwna sprawa
Pewnie i tak już to rozumiesz ale wydaje mi się że warto podkreśli że jest definicja pewnej stycznej która wymaga styczności tylko w jednym punkcji, jest to definicja stycznej do okręgu. Styczna do krzywej już tego nie wymaga by uniknąć właśnie takich problemów więc definiuje się granicę ciągu siecznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dziwna sprawa
Sorry, ale co tu na okrąg do roboty?Janusz Tracz pisze:Pewnie i tak już to rozumiesz ale wydaje mi się że warto podkreśli że jest definicja pewnej stycznej która wymaga styczności tylko w jednym punkcji, jest to definicja stycznej do okręgu. Styczna do krzywej już tego nie wymaga by uniknąć właśnie takich problemów więc definiuje się granicę ciągu siecznych.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Dziwna sprawa
illwreakyabonez, Pisał że martwi go fakt iż styczna przecina wykres w kilku punktach (tak zrozumiałem). Te obawy nie są bezpodstawne bo styczną do okręgu definiuje się jak prostą mającą tylko jeden punkt wspólny z tym okręgiem. Myślałem więc że illwreakyabonez, mógł stosować definicje stycznej do okręgu stosując ją do krzywej. Co niepotrzebnie wywołało zakłopotanie tymi wielokrotnymi punktami przecięcia które są dozwolone są stycznej do krzywej.
- illwreakyabonez
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 8 lip 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska
- Podziękował: 11 razy
Re: Dziwna sprawa
Ciekawe spostrzeżenie, nie da się ukryć. Na pewno będę miał to na uwadze w późniejszych zadaniach -Janusz Tracz pisze:Pewnie i tak już to rozumiesz ale wydaje mi się że warto podkreśli że jest definicja pewnej stycznej która wymaga styczności tylko w jednym punkcji, jest to definicja stycznej do okręgu. Styczna do krzywej już tego nie wymaga by uniknąć właśnie takich problemów więc definiuje się granicę ciągu siecznych.
przyznam się, że równania okręgów taktycznie pominąłem na rzecz pochodnych, ale niedługo to nadrobię ;p
-
- Administrator
- Posty: 34287
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dziwna sprawa
Tak? A ja mam wrażenie, że jest dokładnie odwrotnie - to, że styczna do okręgu (w jakimkolwiek jego punkcie) ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny jest własnością okręgu, a nie wynika z definicji stycznej, która także w tym wypadku może być definiowana jak granica siecznych. Oczywiście tę własność dla wygody często przyjmuje się jako definicję.Janusz Tracz pisze:jest definicja pewnej stycznej która wymaga styczności tylko w jednym punkcji, jest to definicja stycznej do okręgu.
JK
PS
Nawiasem mówiąc, nie wiem czemu wyróżniłeś okrąg. Co na to elipsa?