O wielomianie \(\displaystyle{ w(x) =x^3+bx^2+cx+d}\), wiadomo, że posiada trzy różne niezerowe pierwiastki, których suma wynosi \(\displaystyle{ k}\), a suma odwrotności \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną niezerową liczbą rzeczywistą. Uzasadnij, że \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem wielomianu.
Proszę o pomoc w rozwiązaniu.
Uzasadnij, że k jestpierwiastkiem wielomianu
Uzasadnij, że k jestpierwiastkiem wielomianu
Ostatnio zmieniony 25 mar 2018, o 22:05 przez Kaf, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
Re: Uzasadnij, że k jestpierwiastkiem wielomianu
Oznaczamy pierwiastki przez \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\). Z założenia zadania \(\displaystyle{ \frac{1}{k}=\frac{1}{x_1+x_2+x_3}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\iff (x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1)=0\implies k\in\lbrace x_1,x_2,x_3\rbrace}\)
Pierwsze przejście równoważne jest po wymnożeniu obustronnie przez \(\displaystyle{ x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)}\) zaś drugie wprost wynika z udowodnionej tożsamości i wzoru \(\displaystyle{ k=x_1+x_2+x_3}\)
Pierwsze przejście równoważne jest po wymnożeniu obustronnie przez \(\displaystyle{ x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)}\) zaś drugie wprost wynika z udowodnionej tożsamości i wzoru \(\displaystyle{ k=x_1+x_2+x_3}\)
Ostatnio zmieniony 25 mar 2018, o 22:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Uzasadnij, że k jestpierwiastkiem wielomianu
Skorzystaj ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia.