Rozbijanie wielomianu na czynniki

Jmoriarty · Post autor: **Jmoriarty** » 14 mar 2018, o 22:05

Jak rozbić, w sensie jak zauważyć szybko to, jak trzeba rozbić dany wielomian, żeby można było wyciągnąć wspólny nawias?
Przykładowo, jest zwykły wielomian:
\(\displaystyle{ x ^{3}+4x ^{2}-7x-10}\)
Rozbić go można przykładowo tak:
\(\displaystyle{ x ^{3}+x ^{2}+3x ^{2}+3x-10x-10}\)
i teraz tylko wyciągnąć wspólny nawias, którym będzie \(\displaystyle{ (x+1)}\) . Wygląda łatwo, ale ja nie byłem w stanie zauważyć nawet tego, dopóki nie zobaczyłem rozwiązania. Mam tak z każdym takim wielomianem, w którym trzeba rozbić na sześć wyrazów i więcej. Jest na to jakiś łatwiejszy sposób zauważania? Po prostu chce to robić trochę szybciej, niż szukanie pierwiastka pośród dzielników wyrazu wolnego.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 mar 2018, o 22:14

Rób klasycznie i uniwersalnie (tak jak Ci już podpowiadano) - całkowite dzielniki wyrazu wolnego; potem wymierne pierwiastki.

Skoro nie zauważasz ,,myku" to to jest najszybsze.

Zawsze zaczynam od (1); (-1); (2); (-2) - jeśli mogę - do tego Horner.

Jmoriarty · Post autor: **Jmoriarty** » 14 mar 2018, o 22:19

Dziś mi się trafił wielomian, który miał wyraz wolny równy \(\displaystyle{ 20}\), dlatego zacząłem uważać, że to rozbijanie jest właśnie uniwersalne. Szukanie pośród dzielników zajmuje czasem dużo czasu, a rozbijanie (gdy się potrafi zauważyć) zawsze mniej więcej tyle samo. Dlatego właśnie chce się tego nauczyć i pytam o sposoby rozbijania, bo gdyby jakiś był, niż po prostu wpatrywanie się i rozważanie, to faktycznie byłby to o wiele lepszy sposób.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 mar 2018, o 22:40

,,Rozbijanie" robimy na kilka sposobów - dużo zależy od doświadczenia, a tego nie da się wyuczyć od tak.

Dobrze Ci radzę - przykłady są tak dobierane, że ,,początkowe" zgadywania często dają pozytywny efekt.
Wyraz wolny (20) nic tu nie zmienia - najczęściej trzeba trafić w jeden, rzadziej w dwa pierwiastki.

Dlaczego zabiera Ci to dużo czasu ?

Prawdopodobnie zgadujesz, wstawiasz do wielomianu i sprawdzasz czy dostajesz zero, potem dzielisz.

Tak nie rób - poczytaj o schemacie Horner'a - wstawiasz do niego domniemany pierwiastek, krótkie przeliczenie i masz (dwie rzeczy na raz) :
1) potwierdzenie (lub zaprzeczenie), że wzięty to pierwiastek,

2) wynik dzielenia przez \(\displaystyle{ (x-a)}\) (gdzie (a) to zgadywany pierwiastek).

Jmoriarty · Post autor: **Jmoriarty** » 14 mar 2018, o 23:06

Faktycznie, znam schemat Horner'a, ale nie wpadłem na to i faktycznie wstawiałem każdy i sprawdzałem, czy wyjdzie zero, potem po prostu obniżałem (dzieląc przez dwumian \(\displaystyle{ (x-r)}\)) i zapisywałem wielomian jako iloczyn \(\displaystyle{ (x-r)}\) i wyniku dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ (x-r)}\). Teraz wszystko jasne, na pewno będzie szybciej. Dziękuję za pomoc!