Funkcja odwrotna do danej

[Borneq]

Gdy mamy \(\displaystyle{ y= (x-1)\cdot(x-2)}\) to odwrotne są \(\displaystyle{ x= 1.5+\sqrt{y+0.25}}\) i \(\displaystyle{ x= 1.5+ \sqrt{ y-0.25}}\) co nie wynika z pierwiastków ale położenia ekstremum. Jednak już wielomian trzeciego stopnia \(\displaystyle{ x^3 + 2 \cdot x^2 - x + 2}\) powoduje przynajmniej u mnie problemy. Będzie pierwiastek trzeciego stopnia, ale pod pierwiastkiem chyba nie zmienna y z przesunięciem, może całe wyrażanie, może \(\displaystyle{ y^2 + a \cdot y +b}\)?

[MrCommando]

Nie ma takiego czegoś jak kilka funkcji odwrotnych do danej. Poza tym o funkcji odwrotnej do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=(x-1)(x-2)}\) możesz mówić tylko, jeżeli rozważasz zbiór, w którym funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją (sprawdź definicję funkcji odwrotnej). To samo się tyczy wielomianu trzeciego stopnia, który tutaj przytoczyłeś. Na jakim przedziale rozważamy ten wielomian?

Przykładowo funkcja odwrotna dla funkcji \(\displaystyle{ h(x)=x^2}\) określonej na zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje, ale jeśli określimy funkcję na przedziale \(\displaystyle{ [0,+ infty )}\), na którym funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest różnowartościowa, to wtedy możemy mówić o funkcji odwrotnej. Mamy wtedy \(\displaystyle{ h^{-1}(x)=\sqrt{x}}\).

[Borneq]

o funkcji odwrotnej do funkcji \(\displaystyle{ f(x)=(x-1)(x-2)}\) możesz mówić tylko, jeżeli rozważasz zbiór, w którym funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją

Akurat bijekcją nie jest na żadnym obszarze tylko na punkcie, bo \(\displaystyle{ \frac{-1}{4}}\) nie ma żadnych rozwiązań, w tym punkcie ma jedno rozwiązanie a powyżej dwa, chyba że zawęzimy nie tylko poziomy zakres ale i pionowy, wtedy na \(\displaystyle{ left[-frac{1}{4},infty
ight) imes [1.5,infty)}\) ma jedno rozwiązanie. Ale jak to jest z odwróconą funkcją trzeciego stopnia?

[MrCommando]

Akurat bijekcją nie jest na żadnym obszarze tylko na punkcie, bo frac{-1}{4} nie ma żadnych rozwiązań, w tym punkcie ma jedno rozwiązanie a powyżej dwa

Sprawdź, co to znaczy że funkcja jest bijekcją, bo to co napisałeś nie ma żadnego sensu. Jeżeli ograniczymy dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f}\) do przedziału \(\displaystyle{ left[frac{3}{2},+infty
ight)}\), to istnieje funkcja odwrotna. Poza tym "zawężanie poziomego zakresu" jest bez sensu. Ograniczamy TYLKO dziedzinę, a sposób jej wybrania wpływa automatycznie na zbiór wartości funkcji.

Wielomian trzeciego stopnia, który podałeś, jak powiedziałem nie jest odwracalny w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), chyba że rozpatrujesz szczególne przedziały.

[Borneq]

Bijekcja jest jednocześnie surjekcją i injekcją. Funkcja kwadratowa jest surjekcją ale nie injekcją , więc nie jest bijekcją.
Chodzi mi właśnie o szczególne przedziały tej funkcji trzeciego stopnia.
Rozumem: ciągła funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) jest bijekcją wtedy i tylko wtedy gdy jest ściśle monotoniczna na przedziale? Funkcja trzeciego stopnia \(\displaystyle{ x^3 + 2 \cdot x^2 - x + 2}\) jest monotoniczna choćby na \(\displaystyle{ (2,\infty)}\)

[Jan Kraszewski]

Bijekcja jest jednocześnie surjekcją i injekcją. Funkcja kwadratowa jest surjekcją ale nie injekcją ,

Żeby mówić o injekcji/surjekcji musisz mieć określoną dziedzinę i przeciwdziedzinę - sam wzór to za mało. Funkcja określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) może równie dobrze być bądź nie być zarówno injekcją, jak i surjekcją (i to w dowolnej kombinacji tych dwóch własności)...

JK

[MrCommando]

Borneq, no dobra. To co powiesz o funkcji \(\displaystyle{ f: [0, +infty)
ightarrow [0, +infty)}\) określonej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\)?
Jest zarówno injekcją (różnowartościowa), jak i surjekcją (zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie), zatem jest bijekcją.

EDIT: Chyba położyłem trochę sprawę dydaktycznie przy tym pierwszym przykładzie nie wspominając o przeciwdziedzinie. Założyłem, że to oczywiste, że aby funkcja była bijekcją, to weźmiemy przeciwdziedzinę równą zbiorowi wartości. Dziękuję zatem panu Kraszewskiemu za komentarz.

[Borneq]

Jak ograniczymy się tylko do przedziału to jest, podejrzewam nawet że funkcja ciągła jest bijekcją wtedy i tylko wtedy gdy na przedziale jest ściśle monotoniczna.

[Jan Kraszewski]

Funkcja \(\displaystyle{ f: [0, +infty)
ightarrow RR}\) określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) jest ciągła, ściśle monotoniczna i nie jest bijekcją.

JK

[Borneq]

Jak to nie, a na tym przedziale jest odwrotna \(\displaystyle{ x = \sqrt{y}}\)

[Janusz Tracz]

Nie jest bijekcją bo \(\displaystyle{ fleft( left[ 0, infty
ight)
ight)
eq RR}\). Obraz funkcji jest różny od przeciwdziedziny. Funkcja \(\displaystyle{ y=x^2}\) miała by odwrotną gdyby była z \(\displaystyle{ left[ 0, infty
ight)}\) na \(\displaystyle{ left[ 0, infty
ight)}\).

[Borneq]

Wracając do wyszukiwania funkcji odwrotnych: najprostszy przypadek, gdy mamy tylko skalowanie wzdłuż obu osi i przesunięcia , np dla \(\displaystyle{ a \cdot \sin (c \cdot x + d) + b}\) mamy \(\displaystyle{ a_1 \cdot \arcsin (c_1 \cdot y + d_1) + b_1}\) gdzie \(\displaystyle{ a_1,b_1,c_1,d_1}\) odpowiednio wyliczamy. Ale już odwrotnej do \(\displaystyle{ \sin (x)+x}\) nie wiem jak zrobić.

[Janusz Tracz]

Motywem przewodnim który od jakiegoś czasu się przewija jest informacja, że wzór funkcji to za mało by mówić o tym czy funkcja ma odwrotną czy nie. Równie ważnymi informacjami obok wzoru są dziedzina i przeciwdziedzina. Funkcja \(\displaystyle{ \sin x+x}\) określoną na \(\displaystyle{ \RR}\) odwzorowuje dziedzinę na \(\displaystyle{ \RR}\) jest przy tym różnowartościowa, więc funkcja odwrotna istnieje, ale nikt nie mówił że jej wyznaczanie jest łatwe, a nawet możliwe w senie jawnego elementarnego wzoru. Prawdopodobnie żeby poszukiwać jakichś wyrażeń określających odwrotność tej funkcji, trzeba by posłużyć się szeregami. Z tego co wiem, a wiem niewiele, to takimi zagadnieniami zajmuje się

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_inversion_theorem

.

PS. Czym innym w matematyce jest pokazanie jakiegoś obiekt przez jego konstrukcję od udowodnienia że taki obiekt istnienie (choć jego konstrukcji nie umiemy opisać).