Pierwiastek wielomianu

[Jmoriarty]

Mam wielomian \(\displaystyle{ -2x ^{3}+9x ^{2}-12x+4}\). Jak wyznaczyć pierwiastki wielomianu innym sposobem niż rozbijanie i grupowanie wyrazów?

[Benny01]

Dzielnik wyrazu wolnego. Sprawdź \(\displaystyle{ x=2}\) .

[Bierut]

Drugą metodą jest szukanie pierwiastków wymiernych postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, natomiast \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

W tym wypadku \(\displaystyle{ p}\) może przyjmować wartości: \(\displaystyle{ -1, 1, -2, 2, -4, 4}\) .
Natomiast \(\displaystyle{ q}\) może przyjmować takie wartości: \(\displaystyle{ -1, 1, -2, 2}\) .

Jest sporo kombinacji. Teoretycznie trzeba sprawdzić wszystkie. W tym wypadku tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) zerują wielomian.

Dla uzupełnienia pierwszej metody, tam również teoretycznie powinno się sprawdzić wszystkie dzielniki całkowite, czyli: \(\displaystyle{ -1, 1, -2, 2, -4, 4}\). Benny01, podał zapewne tylko dwójkę, bo wiedział, że ona spełnia.

[Jmoriarty]

A jeśli wyraz wolny jest większą liczbą i ma za dużo dzielników żeby sprawdzać? Wtedy zostaje tylko grupowanie wyrazów?

[Bierut]

Grupowanie wyrazów lub wzory skróconego mnożenia. Są jeszcze wzory Viète’a, ale stosowanie ich dla wielomianów większego stopnia niż drugiego raczej nie ma sensu.

[kmarciniak1]

A jeśli wyraz wolny jest większą liczbą i ma za dużo dzielników żeby sprawdzać? Wtedy zostaje tylko grupowanie wyrazów?

W praktyce metodę grupowania wyrazów warto stosować tylko w przypadku dość "łatwych" wielomianów, które mają symetryczne współczynniki. Wielomiany, takie jak chociażby ten podany przez Ciebie w pierwszym poście nie dają się zbyt szybko pogrupować.
W takich przykładach szukamy pierwiastków całkowitych, a jeśli nie ma takich, to szukamy wymiernych.