Postać iloczynowa funkcji wielomianowej

[Jmoriarty]

Jeśli mam przykładową funkcje wielomianową: \(\displaystyle{ W(x)=\frac{1}{4} x ^{4} -2x ^{2}}\) i chce zapisać ten wzór w postaci iloczynowej, to skąd mam wiedzieć, że jeden z pierwiastków muszę podnieść to którejś potęgi?
Przykładowo, postać iloczynowa tej funkcji jest taka: \(\displaystyle{ W(x)=\frac{1}{4} (x-2 \sqrt{2} )(x+2 \sqrt{2} )(x-0) ^{2}}\) . Jak widać ma ona trzy miejsca zerowe, ale skąd mam wiedzieć, że akurat to miejsce zerowe (w tym przypadku ostatnie-zero) trzeba podnieść do kwadratu, zapisując ten wzór? Zauważyłem na wykresach takich funkcji, że każde miejsce zerowe, które jest w postaci iloczynowej podnoszone do kwadratu, na wykresie dotyka tej liczby jakby 'czubek' wykresu, zawsze w tym miejscu funkcja jakby 'odbija', ale nie mogę tego zrozumieć.

[Ykazxem]

Ten wzór równie dobrze mógłbyś zapisać w postaci: \(\displaystyle{ W(x)=\frac{1}{4} (x-2 \sqrt{2} )(x+2 \sqrt{2} )x^{2}}\) (bo \(\displaystyle{ (x-0)^{2}}\) to po prostu \(\displaystyle{ x^{2}}\)). Z tą potęgą przy nawiasie (krotnością pierwiastka) najprościej poradzić sobie rozkładając wielomian do końca na czynniki - \(\displaystyle{ W(x)=\frac{1}{4} (x-2 \sqrt{2} )(x+2 \sqrt{2} )x \cdot x}\), wtedy zauważ czynnik \(\displaystyle{ x}\) występuje dwa razy w rozkładzie, więc zapisując prościej dajemy \(\displaystyle{ x^{2}}\) zamiast \(\displaystyle{ x \cdot x}\).
Analogicznie jeżeli miałbyś do rozkładu na przykład wielomian \(\displaystyle{ x^{2}-6x+9}\), co można zapisać jako \(\displaystyle{ (x-3)(x-3)}\), ale też jako \(\displaystyle{ (x-3)^{2}}\)

[Jmoriarty]

Rozumiem, zapisałem tak żeby widać było skąd to wziąłem. Chodzi mi o to, że skąd w tym przypadku miałem wiedzieć, że muszę zapisać to jako \(\displaystyle{ (x-0) ^{2}}\), a nie po prostu jako \(\displaystyle{ (x-0)}\)?

[Ykazxem]

Jeżeli zapiszesz \(\displaystyle{ x}\) zamiast \(\displaystyle{ x^{2}}\), to będziesz miał wielomian innego stopnia niż początkowy, a wielomian po rozkładzie powinien być jednak tym samym wielomianem tyle, że zapisanym w innej postaci.

[SlotaWoj]

W tym przypadku liczba \(\displaystyle{ 0}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu, stąd \(\displaystyle{ (x-0)^2}\) .

Ogólniej: jeżeli liczba \(\displaystyle{ x_m}\) jest \(\displaystyle{ k}\) – krotnym pierwiastkiem wielomianu, to w jego postaci iloczynowej występuje czynnik \(\displaystyle{ (x-x_m)^k}\) .

[Jmoriarty]

Właśnie, rozumiem tą krotność. Więc inaczej zadam pytanie: skąd wiem, że zero jest dwukrotnym pierwiastkiem? Wiem, że można to sprawdzić, jednak zajmuje to trochę za długo. Jest jakiś sposób na szybkie zauważenie tego w pamięci?

[Ykazxem]

Z samym zerem? Zero będzie miejscem zerowym na przykład zawsze jeżeli w wyraz wolny wielomianu jest równy zero, podwójnym jeżeli wyraz wolny i współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) w pierwszej potędze jest równy zero, ale to właściwie nadal to samo, że wyłączasz \(\displaystyle{ x}\) przed nawias w najwyższej potędze i potęga tego \(\displaystyle{ x}\) jest równa krotności pierwiastka.

[Jmoriarty]

No właśnie mogę po prostu wyłączyć wspólny czynnik przed nawias (co jest proste i zrozumiałe), ale ja miejsca zerowe miałem już podane, więc skomplikowałem i chciałem skorzystać z podstawienia miejsc zerowych do nawiasów.
Dzięki za pomoc!