Trzeci pierwiastek

[a4karo]

Równanie \(\displaystyle{ ax^3+bx+c=0}\) ma pierwiastek podwójny. Oblicz trzeci pierwiastek. (Math. Mag 1963)

[kerajs]

\(\displaystyle{ x_{1,2}= \frac{2b}{3a} \vee x_3= \frac{-b}{3a} \ \ \ \ &\text{dla } \ \ c= \frac{-4b^3}{27a^2} \wedge a \neq 0}\)

[a4karo]

Chyba coś nie tak. Suma tych pierwiastków nie jest zerem

[Rafsaf]

Suma tych pierwiastków chyba musi być zerem, gdyby nie była to współczynnik przy drugiej potędze byłby różny od \(\displaystyle{ 0}\)

Jak oznaczyłem podwójny pierwiastek jako \(\displaystyle{ k}\) to trzeci pierwiastek wyszedł mi \(\displaystyle{ -2k}\)
Tyle, że teraz sprawdzając na wzorach Viète’a
\(\displaystyle{ x_1x_2+x_2x_x+x_1x_3= \frac{b}{a}}\)

wyszło mi trochę inaczej niż u kerajsa \(\displaystyle{ x_{1,2}= \sqrt{ -\frac{b}{3a} }}\) oraz \(\displaystyle{ x_3= -\sqrt{ -\frac{4b}{3a} }}\)

[a4karo]

Wsk. Można to wyliczyć nie obliczając pierwiastków.

[kerajs]

Chyba coś nie tak.

Faktycznie nie tak , gdyż podane wcześniej rozwiązanie dotyczy równania \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+c=0}\). Po prostu, źle przepisałem równanie.

Wsk. Można to wyliczyć nie obliczając pierwiastków.

Owszem: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=0 \Rightarrow x_3=-2x_1}\)
jednak potrzebne są jeszcze założenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \neq 0 \\ \frac{-b}{a} >0 \\ 27ac^2=-4b^3 \end{cases}}\)
Jeśli dopuścić rozwiązania zespolone to drugie założenie można skreślić.

[a4karo]

Nie są potrzebne dodatkowe założenia. Np. Z faktu, że jest podwójny pierwiastek wynika, że \(\displaystyle{ a\neq0}\)-- 9 mar 2018, o 21:03 --Ten podwójny pierwiastek spełnia równanie \(\displaystyle{ 3ax^2+b=0}\) więc iloczyn pierwiastków podwójnych jest równy \(\displaystyle{ -\frac{b}{3a}}\) a iloczyn wszystkich trzech to \(\displaystyle{ -\frac{c}{a}}\). Zatem trzeci pierwiastek jest równy \(\displaystyle{ \frac{3c}{b}}\).