Trzeci pierwiastek
- Rafsaf
- Użytkownik
- Posty: 466
- Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 80 razy
Re: Trzeci pierwiastek
Suma tych pierwiastków chyba musi być zerem, gdyby nie była to współczynnik przy drugiej potędze byłby różny od \(\displaystyle{ 0}\)
Jak oznaczyłem podwójny pierwiastek jako \(\displaystyle{ k}\) to trzeci pierwiastek wyszedł mi \(\displaystyle{ -2k}\)
Tyle, że teraz sprawdzając na wzorach Viète’a
\(\displaystyle{ x_1x_2+x_2x_x+x_1x_3= \frac{b}{a}}\)
wyszło mi trochę inaczej niż u kerajsa \(\displaystyle{ x_{1,2}= \sqrt{ -\frac{b}{3a} }}\) oraz \(\displaystyle{ x_3= -\sqrt{ -\frac{4b}{3a} }}\)
Jak oznaczyłem podwójny pierwiastek jako \(\displaystyle{ k}\) to trzeci pierwiastek wyszedł mi \(\displaystyle{ -2k}\)
Tyle, że teraz sprawdzając na wzorach Viète’a
\(\displaystyle{ x_1x_2+x_2x_x+x_1x_3= \frac{b}{a}}\)
wyszło mi trochę inaczej niż u kerajsa \(\displaystyle{ x_{1,2}= \sqrt{ -\frac{b}{3a} }}\) oraz \(\displaystyle{ x_3= -\sqrt{ -\frac{4b}{3a} }}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Trzeci pierwiastek
Faktycznie nie tak , gdyż podane wcześniej rozwiązanie dotyczy równania \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+c=0}\). Po prostu, źle przepisałem równanie.a4karo pisze:Chyba coś nie tak.
Owszem: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=0 \Rightarrow x_3=-2x_1}\)a4karo pisze:Wsk. Można to wyliczyć nie obliczając pierwiastków.
jednak potrzebne są jeszcze założenia:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \neq 0 \\ \frac{-b}{a} >0 \\ 27ac^2=-4b^3 \end{cases}}\)
Jeśli dopuścić rozwiązania zespolone to drugie założenie można skreślić.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Trzeci pierwiastek
Nie są potrzebne dodatkowe założenia. Np. Z faktu, że jest podwójny pierwiastek wynika, że \(\displaystyle{ a\neq0}\)-- 9 mar 2018, o 21:03 --Ten podwójny pierwiastek spełnia równanie \(\displaystyle{ 3ax^2+b=0}\) więc iloczyn pierwiastków podwójnych jest równy \(\displaystyle{ -\frac{b}{3a}}\) a iloczyn wszystkich trzech to \(\displaystyle{ -\frac{c}{a}}\). Zatem trzeci pierwiastek jest równy \(\displaystyle{ \frac{3c}{b}}\).