Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c}\) różnych od \(\displaystyle{ 0}\) wielomian szóstego stopnia
\(\displaystyle{ W(x)= (ax^2+2bx+c)(bx^2+2cx+a)(cx^2+2ax+b)}\)
ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Proszę o pomoc
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c
-
terminator3000+
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 lut 2018, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c
Ostatnio zmieniony 26 lut 2018, o 20:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c
Wystarczy wykazać, że któryś trójmian ma pierwiastek, czyli jego wyróżnik jest nieujemny.
Załóżmy więc przeciwnie, że wszystkie wyróżniki są ujemne, czyli
\(\displaystyle{ \Delta_{1}=4b^{2}-4ac <0 \\ \Delta_{2}=4c^{2}-4ab < 0 \\ \Delta_{3}=4a^{2}-4bc}\).
Sumując stronami te 3 nierówności i zwijając dotajemy:
\(\displaystyle{ 0>4\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=2\left(a-b\right)^{2}+2\left(b-c\right)^{2}+2\left(c-a\right)^{2} \ge 0}\),
co jest ewidentną niedorzecznością, więc teza jest udowodniona.
Załóżmy więc przeciwnie, że wszystkie wyróżniki są ujemne, czyli
\(\displaystyle{ \Delta_{1}=4b^{2}-4ac <0 \\ \Delta_{2}=4c^{2}-4ab < 0 \\ \Delta_{3}=4a^{2}-4bc}\).
Sumując stronami te 3 nierówności i zwijając dotajemy:
\(\displaystyle{ 0>4\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=2\left(a-b\right)^{2}+2\left(b-c\right)^{2}+2\left(c-a\right)^{2} \ge 0}\),
co jest ewidentną niedorzecznością, więc teza jest udowodniona.