Dzielenie wielomianów

[Jmoriarty]

Mam wykonać działanie \(\displaystyle{ (3x ^{2}-2x+1):(x+2)}\)
Z dzielenia wychodzi, że jest to \(\displaystyle{ 3x-8}\) reszty \(\displaystyle{ 17}\). Czyli to jest inaczej \(\displaystyle{ 3x-8+ \frac{17}{x+2}}\) czy \(\displaystyle{ 3x+9}\)?

[janusz47]

Możesz sprawdzić wynik dzielenia?

[Jmoriarty]

No wynik jest dobry. Odpowiedź to \(\displaystyle{ 3x-8}\) reszty \(\displaystyle{ 17}\)

[michcior]

\(\displaystyle{ 3x^2-2x+1=(3x-8)(x+2)+17}\) to masz podzielić przez \(\displaystyle{ x+2}\), korzystając z rozdzielności dodawania względem dzielenia, więc w zapisie bez reszty widać co ma wyjść.

[Jmoriarty]

Spytałem tylko która odpowiedź z tych dwóch które podałem jest poprawna. \(\displaystyle{ 3x-8+ \frac{17}{x+2}}\) czy \(\displaystyle{ 3x+9}\)? Tylko to chce wiedzieć

Edit: czyli odpowiedzią na pewno nie jest opcja \(\displaystyle{ 3x+9}\), tak?

[Premislav]

Mam wykonać działanie \(\displaystyle{ (3x ^{2}-2x+1):(x+2)}\)

W jakim pierścieniu? xD

Tak na serio, skoro zgodnie z nazwą wątku chodzi o dzielenie wielomianów (w domyśle z resztą), zaś \(\displaystyle{ 3x-8+ \frac{17}{x+2}}\) wielomianem nie jest, to chyba coś nie tak.
A odpowiedź na to pytanie:

Czyli to jest inaczej \(\displaystyle{ 3x-8+ \frac{17}{x+2}}\) czy \(\displaystyle{ 3x+9}\)?

brzmi: ani jedno, ani drugie. Gdybyś dzielił funkcje wymierne, a nie wielomiany, to to pierwsze byłoby wynikiem, a to drugie to w ogóle jakoś z du…żego kapelusza wzięte. Podobnie jak dzielisz liczby całkowite (najczęściej dodatnie) z resztą, to wynikiem dzielenia \(\displaystyle{ 17}\) przez \(\displaystyle{ 5}\) nie jest \(\displaystyle{ \frac{17}{5}}\) (jak w przypadku zwykłego dzielenia w \(\displaystyle{ \RR}\)), tylko \(\displaystyle{ 3}\) i reszta z dzielenia wynosi \(\displaystyle{ 2}\).
Pozdrawiam.

[Jmoriarty]

Właśnie rozumiem. Dziś po podzieleniu tych wielomianów i podaniu wyniku z resztą nauczyciel nam powiedział, że gdybyśmy chcieli to zapisać w wyniku bez reszty to te \(\displaystyle{ 17}\) można dodać do \(\displaystyle{ 3x-8}\) i zapisać jako \(\displaystyle{ 3x+9}\) ))) dziękuję.

[michcior]

Ale jak to, przecież \(\displaystyle{ (3x+9)(x+2) \neq (3x-8)(x+2)+17}\)

[Jmoriarty]

Nie wiem, zdziwiony byłem. Nauczyciel stwierdził, że \(\displaystyle{ W(x):P(x)=Q(x)+R(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ W(x)}\) i \(\displaystyle{ P(x)}\) to dowolne wielomiany niebędące zerowymi, \(\displaystyle{ Q(x)}\) to wynik dzielenia 'pod kreską' tych wielomianów, a \(\displaystyle{ R(x)}\) to reszta z dzielenia tych wielomianów. Zresztą nieważne. Dzielenie i tak podaje się z resztą, więc nie muszę wiedzieć jak to by było bez reszty.

[PoweredDragon]

Nie wiem co wam Pan nagadał, ale mylimy tu parę rzeczy

Wynikiem dzielenia
\(\displaystyle{ (3x ^{2}-2x+1):(x+2)}\) jest wielomian \(\displaystyle{ 3x-8}\) z resztą 17

Z tego zaś wynika, że zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \frac{3x ^{2}-2x+1}{x+2} = 3x-8+ \frac{17}{x+2}}\)

Co do tego 17, to nie możemy go sobie dodać, bo jak kolega istotnie zauważył, taka równość nie zachoddzi. Ona nam jedynie mówi, że

\(\displaystyle{ (3x^2-2x+1) = (3x-8)(x+2)+17 \neq (3x-8)(x+2)+17(x+2) = (3x+9)(x+2)}\)

PUH

Z twierdzenia o dzieleniu z resztą:

\(\displaystyle{ W(x) = Q(x) P(x) + R(x)}\)
Podstawiając to co wasz Pan wymyślił, że \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{P(x)} = Q(x)+R(x)}\) wynika, że
\(\displaystyle{ R(x) P(x) = R(x)}\), zatem \(\displaystyle{ P \equiv 1 \neq x+2}\) - sprzeczność

[michcior]

Ja tez się nie mogę z tym zgodzić, co Wam nauczyciel powiedział. Proponuje zwrócić mu uwagę, bo w żadnym razie to co napisał nie jest prawdziwe. Jeśli tego nie zrozumie to szkoda ze macie takiego nauczyciela.

[Jmoriarty]

Czyli coś jest źle zapisane w tym twierdzeniu? Bo nie rozumiem.

*(poprawka do mojego poprzedniego postu, tylko \(\displaystyle{ P(x)}\) nie może być zerem, \(\displaystyle{ W(x)}\) może

[PoweredDragon]

Tak, wszystko jest źle. Twierdzenie mówi, że wynik dzielenia dwóch wielomianów \(\displaystyle{ W}\), \(\displaystyle{ P}\), przy czym \(\displaystyle{ P(x) \not\equiv 0}\) to wielomian \(\displaystyle{ Q}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ W(x) = Q(x) P(x) + R(x)}\), przy czym wielomian \(\displaystyle{ R}\) spełniający \(\displaystyle{ deg [R(x)] < deg [P(x)]}\) nazywamy resztą z tego dzielenia. Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ P(x)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{P(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{P(x)}}\), a zatem to, co napisał twój nauczyciel jest prawdziwe WTEDY I TYLKO WTEDY, GDY \(\displaystyle{ P(x) \equiv 1}\)