Wielomian

[szablewskil]

Mam takie pytanie: Mam układ trzech równań i dodając je stronami otrzymuje np.
\(\displaystyle{ 0=(a^7-a^4+a)+(b^7-b^4+b)+(c^7-c^4+c)}\). Teraz stosując metode podstawiania za \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) otrzymam \(\displaystyle{ 0=q(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ st. q(a)=7^3}\). Czy wiedząc że \(\displaystyle{ (a^7-a^4+a)=(a-3)(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)(a+3)}\) (ten rozklad nie jest prawda, chodzi mi tylko o ogolnosc) to czy moge zapisac ze
\(\displaystyle{ q(a)=(a-3)(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)(a+3)p(a)}\) gdzie \(\displaystyle{ st p(a)=7^3-7}\). Chodzi mi o to, czy mam pewnośc że przy rozkładzie otrzymam \(\displaystyle{ (a-3)(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)(a+3)}\)?

[Sir George]

Osobiście proponuję raczej pisać \(\displaystyle{ (a^7-a^4+a)\,=\,(a+\alpha_1) (a+\alpha_2)(a+\alpha_3) (a+\alpha_4)(a+\alpha_5) (a+\alpha_6)(a+\alpha_7)}\)

Chodzi mi o to, czy mam pewnośc że przy rozkładzie otrzymam
\(\displaystyle{ (a-3)(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)(a+3)}\)

Nie Jeśli podstawiasz za \(\displaystyle{ b=s(a)}\) oraz \(\displaystyle{ c=t(a)}\), to dostajesz jedynie
\(\displaystyle{ (a^7-a^4+a)+(b^7-b^4+b)+(a^7-c^4+c)\,=\\ \,(a+\alpha_1) (a+\alpha_2)(a+\alpha_3) (a+\alpha_4)(a+\alpha_5) (a+\alpha_6)(a+\alpha_7)\\ \ +(s(a)+\alpha_1) (s(a)+\alpha_2)(s(a)+\alpha_3) (s(a)+\alpha_4)(s(a)+\alpha_5) (s(a)+\alpha_6)(s(a)+\alpha_7)\\ \ +(t(a)+\alpha_1) (t(a)+\alpha_2)(t(a)+\alpha_3) (t(a)+\alpha_4)(t(a)+\alpha_5) (t(a)+\alpha_6)(t(a)+\alpha_7)}\)
ale nic Ci nie gwarantuje, że prawa strona będzie podzielna przez \(\displaystyle{ (a+\alpha_1) (a+\alpha_2)(a+\alpha_3) (a+\alpha_4)(a+\alpha_5) (a+\alpha_6)(a+\alpha_7)}\)

[szablewskil]

A jakie są warunki żebym miał pewność że podzielność zachodzi